Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmup1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmup1 20185
 Description: Any assignment of unit vectors to target vectors can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free module to an arbitrary other module on the same base ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmup.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmup.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmup.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
frlmup.v · = ( ·𝑠𝑇)
frlmup.e 𝐸 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 · 𝐴)))
frlmup.t (𝜑𝑇 ∈ LMod)
frlmup.i (𝜑𝐼𝑋)
frlmup.r (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑇))
frlmup.a (𝜑𝐴:𝐼𝐶)
Assertion
Ref Expression
frlmup1 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝐹   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥, ·   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑇
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem frlmup1
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmup.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐹)
2 eqid 2651 . 2 ( ·𝑠𝐹) = ( ·𝑠𝐹)
3 frlmup.v . 2 · = ( ·𝑠𝑇)
4 eqid 2651 . 2 (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘𝐹)
5 eqid 2651 . 2 (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
6 eqid 2651 . 2 (Base‘(Scalar‘𝐹)) = (Base‘(Scalar‘𝐹))
7 frlmup.r . . . 4 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑇))
8 frlmup.t . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ LMod)
95lmodring 18919 . . . . 5 (𝑇 ∈ LMod → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
117, 10eqeltrd 2730 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
12 frlmup.i . . 3 (𝜑𝐼𝑋)
13 frlmup.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
1413frlmlmod 20141 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑋) → 𝐹 ∈ LMod)
1511, 12, 14syl2anc 694 . 2 (𝜑𝐹 ∈ LMod)
1613frlmsca 20145 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑋) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
1711, 12, 16syl2anc 694 . . 3 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝐹))
187, 17eqtr3d 2687 . 2 (𝜑 → (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝐹))
19 frlmup.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑇)
20 eqid 2651 . . 3 (+g𝐹) = (+g𝐹)
21 eqid 2651 . . 3 (+g𝑇) = (+g𝑇)
22 lmodgrp 18918 . . . 4 (𝐹 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
2315, 22syl 17 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
24 lmodgrp 18918 . . . 4 (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ Grp)
258, 24syl 17 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ Grp)
26 eleq1 2718 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝐵𝑥𝐵))
2726anbi2d 740 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → ((𝜑𝑧𝐵) ↔ (𝜑𝑥𝐵)))
28 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧𝑓 · 𝐴) = (𝑥𝑓 · 𝐴))
2928oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝑇 Σg (𝑧𝑓 · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑥𝑓 · 𝐴)))
3029eleq1d 2715 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑇 Σg (𝑧𝑓 · 𝐴)) ∈ 𝐶 ↔ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 · 𝐴)) ∈ 𝐶))
3127, 30imbi12d 333 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → (((𝜑𝑧𝐵) → (𝑇 Σg (𝑧𝑓 · 𝐴)) ∈ 𝐶) ↔ ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑇 Σg (𝑥𝑓 · 𝐴)) ∈ 𝐶)))
32 eqid 2651 . . . . . 6 (0g𝑇) = (0g𝑇)
33 lmodcmn 18959 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ LMod → 𝑇 ∈ CMnd)
348, 33syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ CMnd)
3534adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑇 ∈ CMnd)
3612adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝐼𝑋)
378ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → 𝑇 ∈ LMod)
38 simprl 809 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
397fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
4039ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
4138, 40eleqtrd 2732 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
42 simprr 811 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → 𝑦𝐶)
43 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝑇))
4419, 5, 3, 43lmodvscl 18928 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐶)
4537, 41, 42, 44syl3anc 1366 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦𝐶)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐶)
46 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4713, 46, 1frlmbasf 20152 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑋𝑧𝐵) → 𝑧:𝐼⟶(Base‘𝑅))
4812, 47sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧:𝐼⟶(Base‘𝑅))
49 frlmup.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:𝐼𝐶)
5049adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝐴:𝐼𝐶)
51 inidm 3855 . . . . . . 7 (𝐼𝐼) = 𝐼
5245, 48, 50, 36, 36, 51off 6954 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧𝑓 · 𝐴):𝐼𝐶)
53 ovex 6718 . . . . . . . 8 (𝑧𝑓 · 𝐴) ∈ V
5453a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧𝑓 · 𝐴) ∈ V)
55 ffun 6086 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑓 · 𝐴):𝐼𝐶 → Fun (𝑧𝑓 · 𝐴))
5652, 55syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → Fun (𝑧𝑓 · 𝐴))
57 fvexd 6241 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → (0g𝑇) ∈ V)
58 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5913, 58, 1frlmbasfsupp 20150 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑋𝑧𝐵) → 𝑧 finSupp (0g𝑅))
6012, 59sylan 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧 finSupp (0g𝑅))
617fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
6261eqcomd 2657 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝑇)) = (0g𝑅))
6362breq2d 4697 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑧 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑇)) ↔ 𝑧 finSupp (0g𝑅)))
6463adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑇)) ↔ 𝑧 finSupp (0g𝑅)))
6560, 64mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧 finSupp (0g‘(Scalar‘𝑇)))
6665fsuppimpd 8323 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))) ∈ Fin)
67 ssid 3657 . . . . . . . . 9 (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))) ⊆ (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇)))
6867a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))) ⊆ (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))))
698ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑇 ∈ LMod)
70 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (0g‘(Scalar‘𝑇)) = (0g‘(Scalar‘𝑇))
7119, 5, 3, 70, 32lmod0vs 18944 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝑤𝐶) → ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · 𝑤) = (0g𝑇))
7269, 71sylancom 702 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ 𝑤𝐶) → ((0g‘(Scalar‘𝑇)) · 𝑤) = (0g𝑇))
73 fvexd 6241 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐵) → (0g‘(Scalar‘𝑇)) ∈ V)
7468, 72, 48, 50, 36, 73suppssof1 7373 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → ((𝑧𝑓 · 𝐴) supp (0g𝑇)) ⊆ (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))))
75 suppssfifsupp 8331 . . . . . . 7 ((((𝑧𝑓 · 𝐴) ∈ V ∧ Fun (𝑧𝑓 · 𝐴) ∧ (0g𝑇) ∈ V) ∧ ((𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))) ∈ Fin ∧ ((𝑧𝑓 · 𝐴) supp (0g𝑇)) ⊆ (𝑧 supp (0g‘(Scalar‘𝑇))))) → (𝑧𝑓 · 𝐴) finSupp (0g𝑇))
7654, 56, 57, 66, 74, 75syl32anc 1374 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧𝑓 · 𝐴) finSupp (0g𝑇))
7719, 32, 35, 36, 52, 76gsumcl 18362 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑇 Σg (𝑧𝑓 · 𝐴)) ∈ 𝐶)
7831, 77chvarv 2299 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑇 Σg (𝑥𝑓 · 𝐴)) ∈ 𝐶)
79 frlmup.e . . . 4 𝐸 = (𝑥𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥𝑓 · 𝐴)))
8078, 79fmptd 6425 . . 3 (𝜑𝐸:𝐵𝐶)
8134adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑇 ∈ CMnd)
8212adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐼𝑋)
83 eleq1 2718 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝐵𝑦𝐵))
8483anbi2d 740 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → ((𝜑𝑧𝐵) ↔ (𝜑𝑦𝐵)))
85 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝑓 · 𝐴) = (𝑦𝑓 · 𝐴))
8685feq1d 6068 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧𝑓 · 𝐴):𝐼𝐶 ↔ (𝑦𝑓 · 𝐴):𝐼𝐶))
8784, 86imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧𝑓 · 𝐴):𝐼𝐶) ↔ ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑦𝑓 · 𝐴):𝐼𝐶)))
8887, 52chvarv 2299 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑦𝑓 · 𝐴):𝐼𝐶)
8988adantrr 753 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦𝑓 · 𝐴):𝐼𝐶)
9052adantrl 752 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧𝑓 · 𝐴):𝐼𝐶)
9185breq1d 4695 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧𝑓 · 𝐴) finSupp (0g𝑇) ↔ (𝑦𝑓 · 𝐴) finSupp (0g𝑇)))
9284, 91imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → (((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧𝑓 · 𝐴) finSupp (0g𝑇)) ↔ ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑦𝑓 · 𝐴) finSupp (0g𝑇))))
9392, 76chvarv 2299 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑦𝑓 · 𝐴) finSupp (0g𝑇))
9493adantrr 753 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦𝑓 · 𝐴) finSupp (0g𝑇))
9576adantrl 752 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧𝑓 · 𝐴) finSupp (0g𝑇))
9619, 32, 21, 81, 82, 89, 90, 94, 95gsumadd 18369 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg ((𝑦𝑓 · 𝐴) ∘𝑓 (+g𝑇)(𝑧𝑓 · 𝐴))) = ((𝑇 Σg (𝑦𝑓 · 𝐴))(+g𝑇)(𝑇 Σg (𝑧𝑓 · 𝐴))))
971, 20lmodvacl 18925 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝑦𝐵𝑧𝐵) → (𝑦(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
98973expb 1285 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ LMod ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
9915, 98sylan 487 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
100 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦(+g𝐹)𝑧) → (𝑥𝑓 · 𝐴) = ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴))
101100oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦(+g𝐹)𝑧) → (𝑇 Σg (𝑥𝑓 · 𝐴)) = (𝑇 Σg ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴)))
102 ovex 6718 . . . . . . 7 (𝑇 Σg ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴)) ∈ V
103101, 79, 102fvmpt 6321 . . . . . 6 ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑦(+g𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴)))
10499, 103syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐸‘(𝑦(+g𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴)))
10511adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑅 ∈ Ring)
106 simprl 809 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦𝐵)
107 simprr 811 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
108 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (+g𝑅) = (+g𝑅)
10913, 1, 105, 82, 106, 107, 108, 20frlmplusgval 20155 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦(+g𝐹)𝑧) = (𝑦𝑓 (+g𝑅)𝑧))
110109oveq1d 6705 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴) = ((𝑦𝑓 (+g𝑅)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴))
11113, 46, 1frlmbasf 20152 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑋𝑦𝐵) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
11212, 111sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
113112adantrr 753 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
114 ffn 6083 . . . . . . . . . . 11 (𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅) → 𝑦 Fn 𝐼)
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑦 Fn 𝐼)
11648adantrl 752 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧:𝐼⟶(Base‘𝑅))
117 ffn 6083 . . . . . . . . . . 11 (𝑧:𝐼⟶(Base‘𝑅) → 𝑧 Fn 𝐼)
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝑧 Fn 𝐼)
119115, 118, 82, 82, 51offn 6950 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦𝑓 (+g𝑅)𝑧) Fn 𝐼)
120 ffn 6083 . . . . . . . . . . 11 (𝐴:𝐼𝐶𝐴 Fn 𝐼)
12149, 120syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 Fn 𝐼)
122121adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐴 Fn 𝐼)
123119, 122, 82, 82, 51offn 6950 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦𝑓 (+g𝑅)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴) Fn 𝐼)
124 ffn 6083 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑓 · 𝐴):𝐼𝐶 → (𝑦𝑓 · 𝐴) Fn 𝐼)
12588, 124syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑦𝑓 · 𝐴) Fn 𝐼)
126125adantrr 753 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑦𝑓 · 𝐴) Fn 𝐼)
127 ffn 6083 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑓 · 𝐴):𝐼𝐶 → (𝑧𝑓 · 𝐴) Fn 𝐼)
12852, 127syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧𝑓 · 𝐴) Fn 𝐼)
129128adantrl 752 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑧𝑓 · 𝐴) Fn 𝐼)
130126, 129, 82, 82, 51offn 6950 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦𝑓 · 𝐴) ∘𝑓 (+g𝑇)(𝑧𝑓 · 𝐴)) Fn 𝐼)
1317fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑇)))
132131ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (+g𝑅) = (+g‘(Scalar‘𝑇)))
133132oveqd 6707 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)) = ((𝑦𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)))
134133oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)))
1358ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑇 ∈ LMod)
136113ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
13739ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
138136, 137eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
139116ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
140139, 137eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
14149adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → 𝐴:𝐼𝐶)
142141ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐴𝑥) ∈ 𝐶)
143 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (+g‘(Scalar‘𝑇)) = (+g‘(Scalar‘𝑇))
14419, 21, 5, 3, 43, 143lmodvsdir 18935 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ LMod ∧ ((𝑦𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝑧𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐶)) → (((𝑦𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥))(+g𝑇)((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
145135, 138, 140, 142, 144syl13anc 1368 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥))(+g𝑇)((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
146134, 145eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥))(+g𝑇)((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
147115adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑦 Fn 𝐼)
148118adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑧 Fn 𝐼)
14912ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐼𝑋)
150 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
151 fnfvof 6953 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 Fn 𝐼𝑧 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → ((𝑦𝑓 (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) = ((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)))
152147, 148, 149, 150, 151syl22anc 1367 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦𝑓 (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) = ((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)))
153152oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦𝑓 (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦𝑥)(+g𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)))
154121ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐴 Fn 𝐼)
155 fnfvof 6953 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 Fn 𝐼𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → ((𝑦𝑓 · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥)))
156147, 154, 149, 150, 155syl22anc 1367 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦𝑓 · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥)))
157 fnfvof 6953 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 Fn 𝐼𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → ((𝑧𝑓 · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥)))
158148, 154, 149, 150, 157syl22anc 1367 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑧𝑓 · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥)))
159156, 158oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦𝑓 · 𝐴)‘𝑥)(+g𝑇)((𝑧𝑓 · 𝐴)‘𝑥)) = (((𝑦𝑥) · (𝐴𝑥))(+g𝑇)((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
160146, 153, 1593eqtr4d 2695 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦𝑓 (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)) = (((𝑦𝑓 · 𝐴)‘𝑥)(+g𝑇)((𝑧𝑓 · 𝐴)‘𝑥)))
161119adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑓 (+g𝑅)𝑧) Fn 𝐼)
162 fnfvof 6953 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦𝑓 (+g𝑅)𝑧) Fn 𝐼𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → (((𝑦𝑓 (+g𝑅)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦𝑓 (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)))
163161, 154, 149, 150, 162syl22anc 1367 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦𝑓 (+g𝑅)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦𝑓 (+g𝑅)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)))
164126adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦𝑓 · 𝐴) Fn 𝐼)
165129adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧𝑓 · 𝐴) Fn 𝐼)
166 fnfvof 6953 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦𝑓 · 𝐴) Fn 𝐼 ∧ (𝑧𝑓 · 𝐴) Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → (((𝑦𝑓 · 𝐴) ∘𝑓 (+g𝑇)(𝑧𝑓 · 𝐴))‘𝑥) = (((𝑦𝑓 · 𝐴)‘𝑥)(+g𝑇)((𝑧𝑓 · 𝐴)‘𝑥)))
167164, 165, 149, 150, 166syl22anc 1367 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦𝑓 · 𝐴) ∘𝑓 (+g𝑇)(𝑧𝑓 · 𝐴))‘𝑥) = (((𝑦𝑓 · 𝐴)‘𝑥)(+g𝑇)((𝑧𝑓 · 𝐴)‘𝑥)))
168160, 163, 1673eqtr4d 2695 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦𝑓 (+g𝑅)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦𝑓 · 𝐴) ∘𝑓 (+g𝑇)(𝑧𝑓 · 𝐴))‘𝑥))
169123, 130, 168eqfnfvd 6354 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦𝑓 (+g𝑅)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴) = ((𝑦𝑓 · 𝐴) ∘𝑓 (+g𝑇)(𝑧𝑓 · 𝐴)))
170110, 169eqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴) = ((𝑦𝑓 · 𝐴) ∘𝑓 (+g𝑇)(𝑧𝑓 · 𝐴)))
171170oveq2d 6706 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg ((𝑦(+g𝐹)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴)) = (𝑇 Σg ((𝑦𝑓 · 𝐴) ∘𝑓 (+g𝑇)(𝑧𝑓 · 𝐴))))
172104, 171eqtrd 2685 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐸‘(𝑦(+g𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦𝑓 · 𝐴) ∘𝑓 (+g𝑇)(𝑧𝑓 · 𝐴))))
173 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑓 · 𝐴) = (𝑦𝑓 · 𝐴))
174173oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑇 Σg (𝑥𝑓 · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑦𝑓 · 𝐴)))
175 ovex 6718 . . . . . . 7 (𝑇 Σg (𝑦𝑓 · 𝐴)) ∈ V
176174, 79, 175fvmpt 6321 . . . . . 6 (𝑦𝐵 → (𝐸𝑦) = (𝑇 Σg (𝑦𝑓 · 𝐴)))
177176ad2antrl 764 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐸𝑦) = (𝑇 Σg (𝑦𝑓 · 𝐴)))
178 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝑓 · 𝐴) = (𝑧𝑓 · 𝐴))
179178oveq2d 6706 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑇 Σg (𝑥𝑓 · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑧𝑓 · 𝐴)))
180 ovex 6718 . . . . . . 7 (𝑇 Σg (𝑧𝑓 · 𝐴)) ∈ V
181179, 79, 180fvmpt 6321 . . . . . 6 (𝑧𝐵 → (𝐸𝑧) = (𝑇 Σg (𝑧𝑓 · 𝐴)))
182181ad2antll 765 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐸𝑧) = (𝑇 Σg (𝑧𝑓 · 𝐴)))
183177, 182oveq12d 6708 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → ((𝐸𝑦)(+g𝑇)(𝐸𝑧)) = ((𝑇 Σg (𝑦𝑓 · 𝐴))(+g𝑇)(𝑇 Σg (𝑧𝑓 · 𝐴))))
18496, 172, 1833eqtr4d 2695 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐵𝑧𝐵)) → (𝐸‘(𝑦(+g𝐹)𝑧)) = ((𝐸𝑦)(+g𝑇)(𝐸𝑧)))
1851, 19, 20, 21, 23, 25, 80, 184isghmd 17716 . 2 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑇))
1868adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝑇 ∈ LMod)
18712adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝐼𝑋)
18818fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
189188eleq2d 2716 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ↔ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹))))
190189biimpar 501 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹))) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
191190adantrr 753 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
19252adantrl 752 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑧𝑓 · 𝐴):𝐼𝐶)
193192ffvelrnda 6399 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑧𝑓 · 𝐴)‘𝑥) ∈ 𝐶)
19452feqmptd 6288 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧𝑓 · 𝐴) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧𝑓 · 𝐴)‘𝑥)))
195194, 76eqbrtrrd 4709 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧𝑓 · 𝐴)‘𝑥)) finSupp (0g𝑇))
196195adantrl 752 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧𝑓 · 𝐴)‘𝑥)) finSupp (0g𝑇))
19719, 5, 43, 32, 21, 3, 186, 187, 191, 193, 196gsumvsmul 18975 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 · ((𝑧𝑓 · 𝐴)‘𝑥)))) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧𝑓 · 𝐴)‘𝑥)))))
19815adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝐹 ∈ LMod)
199 simprl 809 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
200 simprr 811 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝑧𝐵)
2011, 4, 2, 6lmodvscl 18928 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
202198, 199, 200, 201syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∈ 𝐵)
20313, 46, 1frlmbasf 20152 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑋 ∧ (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∈ 𝐵) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧):𝐼⟶(Base‘𝑅))
204187, 202, 203syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧):𝐼⟶(Base‘𝑅))
205 ffn 6083 . . . . . . . . . 10 ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧):𝐼⟶(Base‘𝑅) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) Fn 𝐼)
206204, 205syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) Fn 𝐼)
207121adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝐴 Fn 𝐼)
208206, 207, 187, 187, 51offn 6950 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴) Fn 𝐼)
209 dffn2 6085 . . . . . . . 8 (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴) Fn 𝐼 ↔ ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴):𝐼⟶V)
210208, 209sylib 208 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴):𝐼⟶V)
211210feqmptd 6288 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴) = (𝑥𝐼 ↦ (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴)‘𝑥)))
2127fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (.r𝑅) = (.r‘(Scalar‘𝑇)))
213212ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (.r𝑅) = (.r‘(Scalar‘𝑇)))
214213oveqd 6707 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)) = (𝑦(.r‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)))
215214oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)))
2168ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑇 ∈ LMod)
217 simplrl 817 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
218188ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (Base‘(Scalar‘𝑇)) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
219217, 218eleqtrrd 2733 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
22048ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
22139ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑇)))
222220, 221eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
223222adantlrl 756 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑧𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)))
22449ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐴𝑥) ∈ 𝐶)
225224adantlr 751 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐴𝑥) ∈ 𝐶)
226 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (.r‘(Scalar‘𝑇)) = (.r‘(Scalar‘𝑇))
22719, 5, 3, 43, 226lmodvsass 18936 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝑧𝑥) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑇)) ∧ (𝐴𝑥) ∈ 𝐶)) → ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (𝑦 · ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
228216, 219, 223, 225, 227syl13anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑇))(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (𝑦 · ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
229215, 228eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)) = (𝑦 · ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
230206adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) Fn 𝐼)
231121ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐴 Fn 𝐼)
23212ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐼𝑋)
233 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
234 fnfvof 6953 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) Fn 𝐼𝐴 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑋𝑥𝐼)) → (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)))
235230, 231, 232, 233, 234syl22anc 1367 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴)‘𝑥) = (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)))
23617fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
237236ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
238217, 237eleqtrrd 2733 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))
239 simplrr 818 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑧𝐵)
240 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑅) = (.r𝑅)
24113, 1, 46, 232, 238, 239, 233, 2, 240frlmvscaval 20158 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)‘𝑥) = (𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)))
242241oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)‘𝑥) · (𝐴𝑥)) = ((𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)))
243235, 242eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑦(.r𝑅)(𝑧𝑥)) · (𝐴𝑥)))
24448, 117syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧 Fn 𝐼)
245244adantrl 752 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → 𝑧 Fn 𝐼)
246245adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑧 Fn 𝐼)
247246, 231, 232, 233, 157syl22anc 1367 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑧𝑓 · 𝐴)‘𝑥) = ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥)))
248247oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑦 · ((𝑧𝑓 · 𝐴)‘𝑥)) = (𝑦 · ((𝑧𝑥) · (𝐴𝑥))))
249229, 243, 2483eqtr4d 2695 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴)‘𝑥) = (𝑦 · ((𝑧𝑓 · 𝐴)‘𝑥)))
250249mpteq2dva 4777 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴)‘𝑥)) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 · ((𝑧𝑓 · 𝐴)‘𝑥))))
251211, 250eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 · ((𝑧𝑓 · 𝐴)‘𝑥))))
252251oveq2d 6706 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ (𝑦 · ((𝑧𝑓 · 𝐴)‘𝑥)))))
253192feqmptd 6288 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑧𝑓 · 𝐴) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧𝑓 · 𝐴)‘𝑥)))
254253oveq2d 6706 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg (𝑧𝑓 · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧𝑓 · 𝐴)‘𝑥))))
255254oveq2d 6706 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑧𝑓 · 𝐴))) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑧𝑓 · 𝐴)‘𝑥)))))
256197, 252, 2553eqtr4d 2695 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴)) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑧𝑓 · 𝐴))))
257 oveq1 6697 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) → (𝑥𝑓 · 𝐴) = ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴))
258257oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) → (𝑇 Σg (𝑥𝑓 · 𝐴)) = (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴)))
259 ovex 6718 . . . . 5 (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴)) ∈ V
260258, 79, 259fvmpt 6321 . . . 4 ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∈ 𝐵 → (𝐸‘(𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴)))
261202, 260syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝐸‘(𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)) = (𝑇 Σg ((𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧) ∘𝑓 · 𝐴)))
262181oveq2d 6706 . . . 4 (𝑧𝐵 → (𝑦 · (𝐸𝑧)) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑧𝑓 · 𝐴))))
263262ad2antll 765 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝑦 · (𝐸𝑧)) = (𝑦 · (𝑇 Σg (𝑧𝑓 · 𝐴))))
264256, 261, 2633eqtr4d 2695 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ 𝑧𝐵)) → (𝐸‘(𝑦( ·𝑠𝐹)𝑧)) = (𝑦 · (𝐸𝑧)))
2651, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 8, 18, 185, 264islmhmd 19087 1 (𝜑𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘𝑓 cof 6937   supp csupp 7340  Fincfn 7997   finSupp cfsupp 8316  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  .rcmulr 15989  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  Grpcgrp 17469  CMndccmn 18239  Ringcrg 18593  LModclmod 18911   LMHom clmhm 19067   freeLMod cfrlm 20138 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lmhm 19070  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-dsmm 20124  df-frlm 20139 This theorem is referenced by:  frlmup3  20187  frlmup4  20188  islindf5  20226  indlcim  20227  lnrfg  38006
 Copyright terms: Public domain W3C validator