MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmssuvc2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmssuvc2 20356
Description: A nonzero scalar multiple of a unit vector not included in a support-restriction subspace is not included in the subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmssuvc1.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmssuvc1.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmssuvc1.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmssuvc1.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
frlmssuvc1.t · = ( ·𝑠𝐹)
frlmssuvc1.z 0 = (0g𝑅)
frlmssuvc1.c 𝐶 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
frlmssuvc1.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
frlmssuvc1.i (𝜑𝐼𝑉)
frlmssuvc1.j (𝜑𝐽𝐼)
frlmssuvc2.l (𝜑𝐿 ∈ (𝐼𝐽))
frlmssuvc2.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
frlmssuvc2 (𝜑 → ¬ (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝑥, 0   𝜑,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉   𝑥, ·   𝑥,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem frlmssuvc2
StepHypRef Expression
1 frlmssuvc2.l . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ (𝐼𝐽))
21eldifad 3727 . . . . . 6 (𝜑𝐿𝐼)
3 frlmssuvc1.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4 frlmssuvc1.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐹)
5 frlmssuvc1.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘𝑅)
6 frlmssuvc1.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑉)
7 frlmssuvc2.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }))
87eldifad 3727 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐾)
9 frlmssuvc1.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
10 frlmssuvc1.u . . . . . . . . . . . 12 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
1110, 3, 4uvcff 20352 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑈:𝐼𝐵)
129, 6, 11syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈:𝐼𝐵)
1312, 2ffvelrnd 6524 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈𝐿) ∈ 𝐵)
14 frlmssuvc1.t . . . . . . . . 9 · = ( ·𝑠𝐹)
15 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
163, 4, 5, 6, 8, 13, 2, 14, 15frlmvscaval 20332 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝐿) = (𝑋(.r𝑅)((𝑈𝐿)‘𝐿)))
17 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (1r𝑅) = (1r𝑅)
1810, 9, 6, 2, 17uvcvv1 20350 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑈𝐿)‘𝐿) = (1r𝑅))
1918oveq2d 6830 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(.r𝑅)((𝑈𝐿)‘𝐿)) = (𝑋(.r𝑅)(1r𝑅)))
205, 15, 17ringridm 18792 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → (𝑋(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝑋)
219, 8, 20syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(.r𝑅)(1r𝑅)) = 𝑋)
2216, 19, 213eqtrd 2798 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝐿) = 𝑋)
23 eldifsni 4466 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (𝐾 ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
247, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑋0 )
2522, 24eqnetrd 2999 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝐿) ≠ 0 )
26 fveq2 6353 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐿 → ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) = ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝐿))
2726neeq1d 2991 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐿 → (((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝐿) ≠ 0 ))
2827elrab 3504 . . . . . 6 (𝐿 ∈ {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ↔ (𝐿𝐼 ∧ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝐿) ≠ 0 ))
292, 25, 28sylanbrc 701 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 })
301eldifbd 3728 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝐿𝐽)
31 nelss 3805 . . . . 5 ((𝐿 ∈ {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ∧ ¬ 𝐿𝐽) → ¬ {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ⊆ 𝐽)
3229, 30, 31syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → ¬ {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ⊆ 𝐽)
333frlmlmod 20315 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝐹 ∈ LMod)
349, 6, 33syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ LMod)
353frlmsca 20319 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
369, 6, 35syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝐹))
3736fveq2d 6357 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
385, 37syl5eq 2806 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
398, 38eleqtrd 2841 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)))
40 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘𝐹)
41 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘𝐹)) = (Base‘(Scalar‘𝐹))
424, 40, 14, 41lmodvscl 19102 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐹)) ∧ (𝑈𝐿) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐵)
4334, 39, 13, 42syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐵)
443, 5, 4frlmbasf 20326 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑈𝐿)):𝐼𝐾)
456, 43, 44syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 · (𝑈𝐿)):𝐼𝐾)
46 ffn 6206 . . . . . . 7 ((𝑋 · (𝑈𝐿)):𝐼𝐾 → (𝑋 · (𝑈𝐿)) Fn 𝐼)
4745, 46syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 · (𝑈𝐿)) Fn 𝐼)
48 frlmssuvc1.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
49 fvex 6363 . . . . . . . 8 (0g𝑅) ∈ V
5048, 49eqeltri 2835 . . . . . . 7 0 ∈ V
5150a1i 11 . . . . . 6 (𝜑0 ∈ V)
52 suppvalfn 7471 . . . . . 6 (((𝑋 · (𝑈𝐿)) Fn 𝐼𝐼𝑉0 ∈ V) → ((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 })
5347, 6, 51, 52syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 })
5453sseq1d 3773 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ {𝑥𝐼 ∣ ((𝑋 · (𝑈𝐿))‘𝑥) ≠ 0 } ⊆ 𝐽))
5532, 54mtbird 314 . . 3 (𝜑 → ¬ ((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽)
5655intnand 1000 . 2 (𝜑 → ¬ ((𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
57 oveq1 6821 . . . 4 (𝑥 = (𝑋 · (𝑈𝐿)) → (𝑥 supp 0 ) = ((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ))
5857sseq1d 3773 . . 3 (𝑥 = (𝑋 · (𝑈𝐿)) → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ ((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
59 frlmssuvc1.c . . 3 𝐶 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
6058, 59elrab2 3507 . 2 ((𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 · (𝑈𝐿)) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
6156, 60sylnibr 318 1 (𝜑 → ¬ (𝑋 · (𝑈𝐿)) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  {crab 3054  Vcvv 3340  cdif 3712  wss 3715  {csn 4321   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814   supp csupp 7464  Basecbs 16079  .rcmulr 16164  Scalarcsca 16166   ·𝑠 cvsca 16167  0gc0g 16322  1rcur 18721  Ringcrg 18767  LModclmod 19085   freeLMod cfrlm 20312   unitVec cuvc 20343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-sup 8515  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-hom 16188  df-cco 16189  df-0g 16324  df-prds 16330  df-pws 16332  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-subg 17812  df-mgp 18710  df-ur 18722  df-ring 18769  df-subrg 19000  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-sra 19394  df-rgmod 19395  df-dsmm 20298  df-frlm 20313  df-uvc 20344
This theorem is referenced by:  frlmlbs  20358
  Copyright terms: Public domain W3C validator