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Theorem frlmsslsp 20183
Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is spanned by the relevant unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmsslsp.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmsslsp.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmsslsp.k 𝐾 = (LSpan‘𝑌)
frlmsslsp.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
frlmsslsp.z 0 = (0g𝑅)
frlmsslsp.c 𝐶 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
Assertion
Ref Expression
frlmsslsp ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝑥,𝑈   𝑥,𝐵   𝑥, 0   𝑥,𝑅   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem frlmsslsp
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmsslsp.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
21frlmlmod 20141 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 ∈ LMod)
323adant3 1101 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝑌 ∈ LMod)
4 eqid 2651 . . . 4 (LSubSp‘𝑌) = (LSubSp‘𝑌)
5 frlmsslsp.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
6 frlmsslsp.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
7 frlmsslsp.c . . . 4 𝐶 = {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽}
81, 4, 5, 6, 7frlmsslss2 20162 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝑌))
9 frlmsslsp.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
109, 1, 5uvcff 20178 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑈:𝐼𝐵)
11103adant3 1101 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝑈:𝐼𝐵)
1211adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑈:𝐼𝐵)
13 simp3 1083 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐽𝐼)
1413sselda 3636 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑦𝐼)
1512, 14ffvelrnd 6400 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑈𝑦) ∈ 𝐵)
16 simpl2 1085 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → 𝐼𝑉)
17 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
181, 17, 5frlmbasf 20152 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑈𝑦) ∈ 𝐵) → (𝑈𝑦):𝐼⟶(Base‘𝑅))
1916, 15, 18syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑈𝑦):𝐼⟶(Base‘𝑅))
20 simpll1 1120 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑅 ∈ Ring)
21 simpll2 1121 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝐼𝑉)
2214adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑦𝐼)
23 eldifi 3765 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐼𝐽) → 𝑥𝐼)
2423adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑥𝐼)
25 disjdif 4073 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∩ (𝐼𝐽)) = ∅
26 disjne 4055 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∩ (𝐼𝐽)) = ∅ ∧ 𝑦𝐽𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑦𝑥)
2725, 26mp3an1 1451 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐽𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑦𝑥)
2827adantll 750 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → 𝑦𝑥)
299, 20, 21, 22, 24, 28, 6uvcvv0 20177 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝐽)) → ((𝑈𝑦)‘𝑥) = 0 )
3019, 29suppss 7370 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → ((𝑈𝑦) supp 0 ) ⊆ 𝐽)
31 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑈𝑦) → (𝑥 supp 0 ) = ((𝑈𝑦) supp 0 ))
3231sseq1d 3665 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑈𝑦) → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ ((𝑈𝑦) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
3332, 7elrab2 3399 . . . . . 6 ((𝑈𝑦) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑈𝑦) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑈𝑦) supp 0 ) ⊆ 𝐽))
3415, 30, 33sylanbrc 699 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐽) → (𝑈𝑦) ∈ 𝐶)
3534ralrimiva 2995 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → ∀𝑦𝐽 (𝑈𝑦) ∈ 𝐶)
36 ffn 6083 . . . . . . 7 (𝑈:𝐼𝐵𝑈 Fn 𝐼)
3711, 36syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝑈 Fn 𝐼)
38 fnfun 6026 . . . . . 6 (𝑈 Fn 𝐼 → Fun 𝑈)
3937, 38syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → Fun 𝑈)
40 fndm 6028 . . . . . . 7 (𝑈 Fn 𝐼 → dom 𝑈 = 𝐼)
4137, 40syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → dom 𝑈 = 𝐼)
4213, 41sseqtr4d 3675 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐽 ⊆ dom 𝑈)
43 funimass4 6286 . . . . 5 ((Fun 𝑈𝐽 ⊆ dom 𝑈) → ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑦𝐽 (𝑈𝑦) ∈ 𝐶))
4439, 42, 43syl2anc 694 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → ((𝑈𝐽) ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑦𝐽 (𝑈𝑦) ∈ 𝐶))
4535, 44mpbird 247 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝑈𝐽) ⊆ 𝐶)
46 frlmsslsp.k . . . 4 𝐾 = (LSpan‘𝑌)
474, 46lspssp 19036 . . 3 ((𝑌 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (LSubSp‘𝑌) ∧ (𝑈𝐽) ⊆ 𝐶) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ⊆ 𝐶)
483, 8, 45, 47syl3anc 1366 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ⊆ 𝐶)
49 simpl1 1084 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
50 simpl2 1085 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝐼𝑉)
51 ssrab2 3720 . . . . . . . . 9 {𝑥𝐵 ∣ (𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽} ⊆ 𝐵
527, 51eqsstri 3668 . . . . . . . 8 𝐶𝐵
5352a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐶𝐵)
5453sselda 3636 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦𝐵)
55 eqid 2651 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑌) = ( ·𝑠𝑌)
569, 1, 5, 55uvcresum 20180 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝑦𝐵) → 𝑦 = (𝑌 Σg (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈)))
5749, 50, 54, 56syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦 = (𝑌 Σg (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈)))
58 eqid 2651 . . . . . 6 (0g𝑌) = (0g𝑌)
59 lmodabl 18958 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ LMod → 𝑌 ∈ Abel)
603, 59syl 17 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝑌 ∈ Abel)
6160adantr 480 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑌 ∈ Abel)
62 imassrn 5512 . . . . . . . . . 10 (𝑈𝐽) ⊆ ran 𝑈
63 frn 6091 . . . . . . . . . . 11 (𝑈:𝐼𝐵 → ran 𝑈𝐵)
6411, 63syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → ran 𝑈𝐵)
6562, 64syl5ss 3647 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝑈𝐽) ⊆ 𝐵)
665, 4, 46lspcl 19024 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈𝐽) ⊆ 𝐵) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌))
673, 65, 66syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌))
684lsssubg 19005 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌)) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (SubGrp‘𝑌))
693, 67, 68syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (SubGrp‘𝑌))
7069adantr 480 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (SubGrp‘𝑌))
711, 17, 5frlmbasf 20152 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑦𝐵) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
72713ad2antl2 1244 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
73 ffn 6083 . . . . . . . . . 10 (𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅) → 𝑦 Fn 𝐼)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 Fn 𝐼)
7537adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑈 Fn 𝐼)
76 simpl2 1085 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐼𝑉)
77 inidm 3855 . . . . . . . . 9 (𝐼𝐼) = 𝐼
7874, 75, 76, 76, 77offn 6950 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) Fn 𝐼)
7954, 78syldan 486 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) Fn 𝐼)
8054, 74syldan 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦 Fn 𝐼)
8180adantrr 753 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → 𝑦 Fn 𝐼)
8237adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → 𝑈 Fn 𝐼)
83 simpl2 1085 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → 𝐼𝑉)
84 simprr 811 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → 𝑧𝐼)
85 fnfvof 6953 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 Fn 𝐼𝑈 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑉𝑧𝐼)) → ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑧) = ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)))
8681, 82, 83, 84, 85syl22anc 1367 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑧) = ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)))
873adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → 𝑌 ∈ LMod)
8867adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌))
8952sseli 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝐶𝑦𝐵)
9089, 72sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
9190adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → 𝑦:𝐼⟶(Base‘𝑅))
9213sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑧𝐽) → 𝑧𝐼)
9392adantrl 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → 𝑧𝐼)
9491, 93ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → (𝑦𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
951frlmsca 20145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
96953adant3 1101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝑅 = (Scalar‘𝑌))
9796fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
9897adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑌)))
9994, 98eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → (𝑦𝑧) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)))
1005, 46lspssid 19033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈𝐽) ⊆ 𝐵) → (𝑈𝐽) ⊆ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
1013, 65, 100syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝑈𝐽) ⊆ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
102101adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → (𝑈𝐽) ⊆ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
103 funfvima2 6533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Fun 𝑈𝐽 ⊆ dom 𝑈) → (𝑧𝐽 → (𝑈𝑧) ∈ (𝑈𝐽)))
10439, 42, 103syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝑧𝐽 → (𝑈𝑧) ∈ (𝑈𝐽)))
105104imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑧𝐽) → (𝑈𝑧) ∈ (𝑈𝐽))
106105adantrl 752 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → (𝑈𝑧) ∈ (𝑈𝐽))
107102, 106sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → (𝑈𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
108 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Scalar‘𝑌) = (Scalar‘𝑌)
109 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘(Scalar‘𝑌)) = (Base‘(Scalar‘𝑌))
110108, 55, 109, 4lssvscl 19003 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌)) ∧ ((𝑦𝑧) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑌)) ∧ (𝑈𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
11187, 88, 99, 107, 110syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐽)) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
112111anassrs 681 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑧𝐽) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
113112adantlrr 757 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ 𝑧𝐽) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
114 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶))
115114adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶))
116115adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶))
117 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → 𝑧𝐼)
118 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → ¬ 𝑧𝐽)
119117, 118eldifd 3618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → 𝑧 ∈ (𝐼𝐽))
120 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 supp 0 ) = (𝑦 supp 0 ))
121120sseq1d 3665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 supp 0 ) ⊆ 𝐽 ↔ (𝑦 supp 0 ) ⊆ 𝐽))
122121, 7elrab2 3399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝐶 ↔ (𝑦𝐵 ∧ (𝑦 supp 0 ) ⊆ 𝐽))
123122simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝐶 → (𝑦 supp 0 ) ⊆ 𝐽)
124123adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑦 supp 0 ) ⊆ 𝐽)
125 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0g𝑅) ∈ V
1266, 125eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ V
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 0 ∈ V)
12890, 124, 50, 127suppssr 7371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑧 ∈ (𝐼𝐽)) → (𝑦𝑧) = 0 )
129116, 119, 128syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → (𝑦𝑧) = 0 )
13096fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
1316, 130syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
132131ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
133129, 132eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → (𝑦𝑧) = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
134133oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) = ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)))
1353ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → 𝑌 ∈ LMod)
13611ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑈𝑧) ∈ 𝐵)
137136adantrl 752 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → (𝑈𝑧) ∈ 𝐵)
138137adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → (𝑈𝑧) ∈ 𝐵)
139 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0g‘(Scalar‘𝑌)) = (0g‘(Scalar‘𝑌))
1405, 108, 55, 139, 58lmod0vs 18944 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑧) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) = (0g𝑌))
141135, 138, 140syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) = (0g𝑌))
142134, 141eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) = (0g𝑌))
14367ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌))
14458, 4lss0cl 18995 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝐾‘(𝑈𝐽)) ∈ (LSubSp‘𝑌)) → (0g𝑌) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
145135, 143, 144syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → (0g𝑌) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
146142, 145eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝐽) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
147113, 146pm2.61dan 849 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → ((𝑦𝑧)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑧)) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
14886, 147eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑦𝐶𝑧𝐼)) → ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
149148expr 642 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑧𝐼 → ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽))))
150149ralrimiv 2994 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → ∀𝑧𝐼 ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
151 ffnfv 6428 . . . . . . 7 ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈):𝐼⟶(𝐾‘(𝑈𝐽)) ↔ ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) Fn 𝐼 ∧ ∀𝑧𝐼 ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑧) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽))))
15279, 150, 151sylanbrc 699 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈):𝐼⟶(𝐾‘(𝑈𝐽)))
1531, 6, 5frlmbasfsupp 20150 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑦𝐵) → 𝑦 finSupp 0 )
154153fsuppimpd 8323 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝑦𝐵) → (𝑦 supp 0 ) ∈ Fin)
15550, 54, 154syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑦 supp 0 ) ∈ Fin)
156 dffn2 6085 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) Fn 𝐼 ↔ (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈):𝐼⟶V)
15778, 156sylib 208 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈):𝐼⟶V)
15874adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝑦 Fn 𝐼)
15937ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝑈 Fn 𝐼)
160 simpll2 1121 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝐼𝑉)
161 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 )) → 𝑥𝐼)
162161adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝑥𝐼)
163 fnfvof 6953 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 Fn 𝐼𝑈 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑉𝑥𝐼)) → ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑥) = ((𝑦𝑥)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑥)))
164158, 159, 160, 162, 163syl22anc 1367 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑥) = ((𝑦𝑥)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑥)))
165 ssid 3657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 supp 0 ) ⊆ (𝑦 supp 0 )
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦 supp 0 ) ⊆ (𝑦 supp 0 ))
167126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → 0 ∈ V)
16872, 166, 76, 167suppssr 7371 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → (𝑦𝑥) = 0 )
169131ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 0 = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
170168, 169eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → (𝑦𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑌)))
171170oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → ((𝑦𝑥)( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑥)) = ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑥)))
1723ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → 𝑌 ∈ LMod)
17311adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑈:𝐼𝐵)
174 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈:𝐼𝐵𝑥𝐼) → (𝑈𝑥) ∈ 𝐵)
175173, 161, 174syl2an 493 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → (𝑈𝑥) ∈ 𝐵)
1765, 108, 55, 139, 58lmod0vs 18944 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 ∈ LMod ∧ (𝑈𝑥) ∈ 𝐵) → ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑥)) = (0g𝑌))
177172, 175, 176syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → ((0g‘(Scalar‘𝑌))( ·𝑠𝑌)(𝑈𝑥)) = (0g𝑌))
178164, 171, 1773eqtrd 2689 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝑦 supp 0 ))) → ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈)‘𝑥) = (0g𝑌))
179157, 178suppss 7370 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) supp (0g𝑌)) ⊆ (𝑦 supp 0 ))
18054, 179syldan 486 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) supp (0g𝑌)) ⊆ (𝑦 supp 0 ))
181 ssfi 8221 . . . . . . . 8 (((𝑦 supp 0 ) ∈ Fin ∧ ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) supp (0g𝑌)) ⊆ (𝑦 supp 0 )) → ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) supp (0g𝑌)) ∈ Fin)
182155, 180, 181syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) supp (0g𝑌)) ∈ Fin)
183 simp2 1082 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐼𝑉)
1841, 17, 5frlmbasmap 20151 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼))
185183, 89, 184syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼))
186 elmapfn 7922 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) → 𝑦 Fn 𝐼)
187185, 186syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦 Fn 𝐼)
18811adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑈:𝐼𝐵)
189188, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑈 Fn 𝐼)
190187, 189, 50, 50, 77offn 6950 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) Fn 𝐼)
191 fnfun 6026 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) Fn 𝐼 → Fun (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈))
192190, 191syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → Fun (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈))
193 ovexd 6720 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) ∈ V)
194 fvex 6239 . . . . . . . . 9 (0g𝑌) ∈ V
195194a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (0g𝑌) ∈ V)
196 funisfsupp 8321 . . . . . . . 8 ((Fun (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) ∧ (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) ∈ V ∧ (0g𝑌) ∈ V) → ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) finSupp (0g𝑌) ↔ ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) supp (0g𝑌)) ∈ Fin))
197192, 193, 195, 196syl3anc 1366 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) finSupp (0g𝑌) ↔ ((𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) supp (0g𝑌)) ∈ Fin))
198182, 197mpbird 247 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈) finSupp (0g𝑌))
19958, 61, 50, 70, 152, 198gsumsubgcl 18366 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑌 Σg (𝑦𝑓 ( ·𝑠𝑌)𝑈)) ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
20057, 199eqeltrd 2730 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑦 ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
201200ex 449 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝑦𝐶𝑦 ∈ (𝐾‘(𝑈𝐽))))
202201ssrdv 3642 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝐶 ⊆ (𝐾‘(𝑈𝐽)))
20348, 202eqssd 3653 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐽𝐼) → (𝐾‘(𝑈𝐽)) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  cin 3606  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ran crn 5144  cima 5146  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937   supp csupp 7340  𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997   finSupp cfsupp 8316  Basecbs 15904  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  SubGrpcsubg 17635  Abelcabl 18240  Ringcrg 18593  LModclmod 18911  LSubSpclss 18980  LSpanclspn 19019   freeLMod cfrlm 20138   unitVec cuvc 20169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lmhm 19070  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-dsmm 20124  df-frlm 20139  df-uvc 20170
This theorem is referenced by:  frlmlbs  20184
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