Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmpwfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmpwfi 38189
Description: Formal linear combinations over Z/2Z are equivalent to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 14-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmpwfi.r 𝑅 = (ℤ/nℤ‘2)
frlmpwfi.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmpwfi.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
frlmpwfi (𝐼𝑉𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))

Proof of Theorem frlmpwfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmpwfi.r . . . . . 6 𝑅 = (ℤ/nℤ‘2)
2 fvex 6364 . . . . . 6 (ℤ/nℤ‘2) ∈ V
31, 2eqeltri 2836 . . . . 5 𝑅 ∈ V
4 frlmpwfi.y . . . . . 6 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
5 eqid 2761 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6 eqid 2761 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
7 eqid 2761 . . . . . 6 {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)}
84, 5, 6, 7frlmbas 20322 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = (Base‘𝑌))
93, 8mpan 708 . . . 4 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = (Base‘𝑌))
10 frlmpwfi.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
119, 10syl6eqr 2813 . . 3 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = 𝐵)
12 eqid 2761 . . . 4 {𝑥 ∈ (2𝑜𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} = {𝑥 ∈ (2𝑜𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅}
13 enrefg 8156 . . . 4 (𝐼𝑉𝐼𝐼)
14 2nn 11398 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
151, 5znhash 20130 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℕ → (♯‘(Base‘𝑅)) = 2)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . 7 (♯‘(Base‘𝑅)) = 2
17 hash2 13406 . . . . . . 7 (♯‘2𝑜) = 2
1816, 17eqtr4i 2786 . . . . . 6 (♯‘(Base‘𝑅)) = (♯‘2𝑜)
19 2nn0 11522 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
2016, 19eqeltri 2836 . . . . . . . 8 (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0
21 fvex 6364 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) ∈ V
22 hashclb 13362 . . . . . . . . 9 ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ∈ Fin ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑅) ∈ Fin ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0)
2420, 23mpbir 221 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ Fin
25 2onn 7892 . . . . . . . 8 2𝑜 ∈ ω
26 nnfi 8321 . . . . . . . 8 (2𝑜 ∈ ω → 2𝑜 ∈ Fin)
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ Fin
28 hashen 13350 . . . . . . 7 (((Base‘𝑅) ∈ Fin ∧ 2𝑜 ∈ Fin) → ((♯‘(Base‘𝑅)) = (♯‘2𝑜) ↔ (Base‘𝑅) ≈ 2𝑜))
2924, 27, 28mp2an 710 . . . . . 6 ((♯‘(Base‘𝑅)) = (♯‘2𝑜) ↔ (Base‘𝑅) ≈ 2𝑜)
3018, 29mpbi 220 . . . . 5 (Base‘𝑅) ≈ 2𝑜
3130a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → (Base‘𝑅) ≈ 2𝑜)
321zncrng 20116 . . . . . 6 (2 ∈ ℕ0𝑅 ∈ CRing)
33 crngring 18779 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3419, 32, 33mp2b 10 . . . . 5 𝑅 ∈ Ring
355, 6ring0cl 18790 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
3634, 35mp1i 13 . . . 4 (𝐼𝑉 → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
37 2on0 7741 . . . . . 6 2𝑜 ≠ ∅
38 2on 7740 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ On
39 on0eln0 5942 . . . . . . 7 (2𝑜 ∈ On → (∅ ∈ 2𝑜 ↔ 2𝑜 ≠ ∅))
4038, 39ax-mp 5 . . . . . 6 (∅ ∈ 2𝑜 ↔ 2𝑜 ≠ ∅)
4137, 40mpbir 221 . . . . 5 ∅ ∈ 2𝑜
4241a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → ∅ ∈ 2𝑜)
437, 12, 13, 31, 36, 42mapfien2 8482 . . 3 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} ≈ {𝑥 ∈ (2𝑜𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅})
4411, 43eqbrtrrd 4829 . 2 (𝐼𝑉𝐵 ≈ {𝑥 ∈ (2𝑜𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅})
4512pwfi2en 38188 . 2 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ (2𝑜𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
46 entr 8176 . 2 ((𝐵 ≈ {𝑥 ∈ (2𝑜𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ∧ {𝑥 ∈ (2𝑜𝑚 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) → 𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
4744, 45, 46syl2anc 696 1 (𝐼𝑉𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  {crab 3055  Vcvv 3341  cin 3715  c0 4059  𝒫 cpw 4303   class class class wbr 4805  Oncon0 5885  cfv 6050  (class class class)co 6815  ωcom 7232  2𝑜c2o 7725  𝑚 cmap 8026  cen 8121  Fincfn 8124   finSupp cfsupp 8443  cn 11233  2c2 11283  0cn0 11505  chash 13332  Basecbs 16080  0gc0g 16323  Ringcrg 18768  CRingccrg 18769  ℤ/nczn 20074   freeLMod cfrlm 20313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227  ax-addf 10228  ax-mulf 10229
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-tpos 7523  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-ec 7916  df-qs 7920  df-map 8028  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-sup 8516  df-inf 8517  df-card 8976  df-cda 9203  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-rp 12047  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-mod 12884  df-seq 13017  df-hash 13333  df-dvds 15204  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-starv 16179  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-unif 16188  df-hom 16189  df-cco 16190  df-0g 16325  df-prds 16331  df-pws 16333  df-imas 16391  df-qus 16392  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-mhm 17557  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-sbg 17649  df-mulg 17763  df-subg 17813  df-nsg 17814  df-eqg 17815  df-ghm 17880  df-cmn 18416  df-abl 18417  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-cring 18771  df-oppr 18844  df-dvdsr 18862  df-rnghom 18938  df-subrg 19001  df-lmod 19088  df-lss 19156  df-lsp 19195  df-sra 19395  df-rgmod 19396  df-lidl 19397  df-rsp 19398  df-2idl 19455  df-cnfld 19970  df-zring 20042  df-zrh 20075  df-zn 20078  df-dsmm 20299  df-frlm 20314
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  38196
  Copyright terms: Public domain W3C validator