MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmphllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmphllem 20167
Description: Lemma for frlmphl 20168. (Contributed by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmphl.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmphl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
frlmphl.t · = (.r𝑅)
frlmphl.v 𝑉 = (Base‘𝑌)
frlmphl.j , = (·𝑖𝑌)
frlmphl.o 𝑂 = (0g𝑌)
frlmphl.0 0 = (0g𝑅)
frlmphl.s = (*𝑟𝑅)
frlmphl.f (𝜑𝑅 ∈ Field)
frlmphl.m ((𝜑𝑔𝑉 ∧ (𝑔 , 𝑔) = 0 ) → 𝑔 = 𝑂)
frlmphl.u ((𝜑𝑥𝐵) → ( 𝑥) = 𝑥)
frlmphl.i (𝜑𝐼𝑊)
Assertion
Ref Expression
frlmphllem ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑔,𝑥   𝑔,𝐼,𝑥   𝑅,𝑔,𝑥   𝑔,𝑉,𝑥   𝑔,𝑊,𝑥   · ,𝑔,𝑥   𝐵,,𝑔,𝑥   ,𝐼   𝑅,   ,𝑉   ,𝑊   𝑔,𝑌,,𝑥   0 ,𝑔,,𝑥   𝜑,𝑔,,𝑥   , ,𝑔,,𝑥   · ,   𝑔,𝑂,   𝑥,
Allowed substitution hints:   (𝑔,)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem frlmphllem
StepHypRef Expression
1 frlmphl.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑊)
213ad2ant1 1102 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝐼𝑊)
3 simp2 1082 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔𝑉)
4 frlmphl.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
5 frlmphl.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑅)
6 frlmphl.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑌)
74, 5, 6frlmbasmap 20151 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑊𝑔𝑉) → 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼))
82, 3, 7syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼))
9 elmapi 7921 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → 𝑔:𝐼𝐵)
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔:𝐼𝐵)
11 ffn 6083 . . . . . 6 (𝑔:𝐼𝐵𝑔 Fn 𝐼)
1210, 11syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔 Fn 𝐼)
13 simp3 1083 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑉)
144, 5, 6frlmbasmap 20151 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑊𝑉) → ∈ (𝐵𝑚 𝐼))
152, 13, 14syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ∈ (𝐵𝑚 𝐼))
16 elmapi 7921 . . . . . . 7 ( ∈ (𝐵𝑚 𝐼) → :𝐼𝐵)
1715, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → :𝐼𝐵)
18 ffn 6083 . . . . . 6 (:𝐼𝐵 Fn 𝐼)
1917, 18syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → Fn 𝐼)
20 inidm 3855 . . . . 5 (𝐼𝐼) = 𝐼
21 eqidd 2652 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑥))
22 eqidd 2652 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑥) = (𝑥))
2312, 19, 2, 2, 20, 21, 22offval 6946 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑔𝑓 · ) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))
2423oveq1d 6705 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑔𝑓 · ) supp 0 ) = ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) supp 0 ))
25 ovexd 6720 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑔𝑓 · ) ∈ V)
26 funmpt 5964 . . . . . . 7 Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))
2726a1i 11 . . . . . 6 ((𝑔𝑓 · ) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) → Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))
28 funeq 5946 . . . . . 6 ((𝑔𝑓 · ) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) → (Fun (𝑔𝑓 · ) ↔ Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥)))))
2927, 28mpbird 247 . . . . 5 ((𝑔𝑓 · ) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) → Fun (𝑔𝑓 · ))
3023, 29syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → Fun (𝑔𝑓 · ))
31 frlmphl.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
324, 31, 6frlmbasfsupp 20150 . . . . 5 ((𝐼𝑊𝑔𝑉) → 𝑔 finSupp 0 )
332, 3, 32syl2anc 694 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑔 finSupp 0 )
34 frlmphl.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ Field)
35 isfld 18804 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
3634, 35sylib 208 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
3736simpld 474 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
38 drngring 18802 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
3937, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
40393ad2ant1 1102 . . . . . 6 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 𝑅 ∈ Ring)
415, 31ring0cl 18615 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
4240, 41syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 0𝐵)
43 frlmphl.t . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
445, 43, 31ringlz 18633 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
4540, 44sylan 487 . . . . 5 (((𝜑𝑔𝑉𝑉) ∧ 𝑥𝐵) → ( 0 · 𝑥) = 0 )
462, 42, 10, 17, 45suppofss1d 7377 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑔𝑓 · ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))
47 fsuppsssupp 8332 . . . . 5 ((((𝑔𝑓 · ) ∈ V ∧ Fun (𝑔𝑓 · )) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ ((𝑔𝑓 · ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))) → (𝑔𝑓 · ) finSupp 0 )
4847fsuppimpd 8323 . . . 4 ((((𝑔𝑓 · ) ∈ V ∧ Fun (𝑔𝑓 · )) ∧ (𝑔 finSupp 0 ∧ ((𝑔𝑓 · ) supp 0 ) ⊆ (𝑔 supp 0 ))) → ((𝑔𝑓 · ) supp 0 ) ∈ Fin)
4925, 30, 33, 46, 48syl22anc 1367 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑔𝑓 · ) supp 0 ) ∈ Fin)
5024, 49eqeltrrd 2731 . 2 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin)
5126a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))))
52 mptexg 6525 . . . 4 (𝐼𝑊 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) ∈ V)
532, 52syl 17 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) ∈ V)
54 fvex 6239 . . . . 5 (0g𝑅) ∈ V
5531, 54eqeltri 2726 . . . 4 0 ∈ V
5655a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → 0 ∈ V)
57 funisfsupp 8321 . . 3 ((Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) ∧ (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
5851, 53, 56, 57syl3anc 1366 . 2 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) supp 0 ) ∈ Fin))
5950, 58mpbird 247 1 ((𝜑𝑔𝑉𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑔𝑥) · (𝑥))) finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  wss 3607   class class class wbr 4685  cmpt 4762  Fun wfun 5920   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937   supp csupp 7340  𝑚 cmap 7899  Fincfn 7997   finSupp cfsupp 8316  Basecbs 15904  .rcmulr 15989  *𝑟cstv 15990  ·𝑖cip 15993  0gc0g 16147  Ringcrg 18593  CRingccrg 18594  DivRingcdr 18795  Fieldcfield 18796   freeLMod cfrlm 20138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mgp 18536  df-ring 18595  df-drng 18797  df-field 18798  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-dsmm 20124  df-frlm 20139
This theorem is referenced by:  frlmphl  20168
  Copyright terms: Public domain W3C validator