MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmlbs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmlbs 20373
Description: The unit vectors comprise a basis for a free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 21-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmlbs.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmlbs.u 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
frlmlbs.j 𝐽 = (LBasis‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
frlmlbs ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ran 𝑈𝐽)

Proof of Theorem frlmlbs
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmlbs.u . . . 4 𝑈 = (𝑅 unitVec 𝐼)
2 frlmlbs.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
3 eqid 2774 . . . 4 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
41, 2, 3uvcff 20367 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹))
54frnd 6203 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹))
6 suppssdm 7480 . . . . . 6 (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ dom 𝑎
7 eqid 2774 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
82, 7, 3frlmbasf 20341 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑎 ∈ (Base‘𝐹)) → 𝑎:𝐼⟶(Base‘𝑅))
98adantll 694 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐹)) → 𝑎:𝐼⟶(Base‘𝑅))
106, 9fssdm 6212 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐹)) → (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ 𝐼)
1110ralrimiva 3118 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐹)(𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ 𝐼)
12 rabid2 3271 . . . 4 ((Base‘𝐹) = {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ 𝐼} ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐹)(𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ 𝐼)
1311, 12sylibr 225 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (Base‘𝐹) = {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ 𝐼})
14 ssid 3780 . . . 4 𝐼𝐼
15 eqid 2774 . . . . 5 (LSpan‘𝐹) = (LSpan‘𝐹)
16 eqid 2774 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
17 eqid 2774 . . . . 5 {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ 𝐼} = {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ 𝐼}
182, 1, 15, 3, 16, 17frlmsslsp 20372 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉𝐼𝐼) → ((LSpan‘𝐹)‘(𝑈𝐼)) = {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ 𝐼})
1914, 18mp3an3 1564 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ((LSpan‘𝐹)‘(𝑈𝐼)) = {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ 𝐼})
20 ffn 6196 . . . . 5 (𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹) → 𝑈 Fn 𝐼)
21 fnima 6161 . . . . 5 (𝑈 Fn 𝐼 → (𝑈𝐼) = ran 𝑈)
224, 20, 213syl 18 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (𝑈𝐼) = ran 𝑈)
2322fveq2d 6352 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ((LSpan‘𝐹)‘(𝑈𝐼)) = ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈))
2413, 19, 233eqtr2rd 2815 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹))
25 eqid 2774 . . . . . 6 ( ·𝑠𝐹) = ( ·𝑠𝐹)
26 eqid 2774 . . . . . 6 {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑐})} = {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑐})}
27 simpll 772 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → 𝑅 ∈ Ring)
28 simplr 774 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → 𝐼𝑉)
29 difssd 3896 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → (𝐼 ∖ {𝑐}) ⊆ 𝐼)
30 vsnid 4359 . . . . . . 7 𝑐 ∈ {𝑐}
31 snssi 4485 . . . . . . . . 9 (𝑐𝐼 → {𝑐} ⊆ 𝐼)
3231ad2antrl 708 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → {𝑐} ⊆ 𝐼)
33 dfss4 4017 . . . . . . . 8 ({𝑐} ⊆ 𝐼 ↔ (𝐼 ∖ (𝐼 ∖ {𝑐})) = {𝑐})
3432, 33sylib 209 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → (𝐼 ∖ (𝐼 ∖ {𝑐})) = {𝑐})
3530, 34syl5eleqr 2860 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → 𝑐 ∈ (𝐼 ∖ (𝐼 ∖ {𝑐})))
362frlmsca 20334 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑅 = (Scalar‘𝐹))
3736fveq2d 6352 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝐹)))
3836fveq2d 6352 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝐹)))
3938sneqd 4338 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → {(0g𝑅)} = {(0g‘(Scalar‘𝐹))})
4037, 39difeq12d 3887 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)}) = ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))
4140eleq2d 2839 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (𝑏 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)}) ↔ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))})))
4241biimpar 464 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))})) → 𝑏 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)}))
4342adantrl 696 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → 𝑏 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)}))
442, 1, 3, 7, 25, 16, 26, 27, 28, 29, 35, 43frlmssuvc2 20371 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)(𝑈𝑐)) ∈ {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑐})})
4516, 7ringelnzr 19501 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑏 ∈ ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})) → 𝑅 ∈ NzRing)
4627, 43, 45syl2anc 574 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → 𝑅 ∈ NzRing)
471, 2, 3uvcf1 20368 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ NzRing ∧ 𝐼𝑉) → 𝑈:𝐼1-1→(Base‘𝐹))
4846, 28, 47syl2anc 574 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → 𝑈:𝐼1-1→(Base‘𝐹))
49 df-f1 6047 . . . . . . . . . 10 (𝑈:𝐼1-1→(Base‘𝐹) ↔ (𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐹) ∧ Fun 𝑈))
5049simprbi 485 . . . . . . . . 9 (𝑈:𝐼1-1→(Base‘𝐹) → Fun 𝑈)
51 imadif 6124 . . . . . . . . 9 (Fun 𝑈 → (𝑈 “ (𝐼 ∖ {𝑐})) = ((𝑈𝐼) ∖ (𝑈 “ {𝑐})))
5248, 50, 513syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → (𝑈 “ (𝐼 ∖ {𝑐})) = ((𝑈𝐼) ∖ (𝑈 “ {𝑐})))
53 f1fn 6257 . . . . . . . . . 10 (𝑈:𝐼1-1→(Base‘𝐹) → 𝑈 Fn 𝐼)
5448, 53, 213syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → (𝑈𝐼) = ran 𝑈)
5548, 53syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → 𝑈 Fn 𝐼)
56 simprl 776 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → 𝑐𝐼)
57 fnsnfv 6417 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 Fn 𝐼𝑐𝐼) → {(𝑈𝑐)} = (𝑈 “ {𝑐}))
5855, 56, 57syl2anc 574 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → {(𝑈𝑐)} = (𝑈 “ {𝑐}))
5958eqcomd 2780 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → (𝑈 “ {𝑐}) = {(𝑈𝑐)})
6054, 59difeq12d 3887 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → ((𝑈𝐼) ∖ (𝑈 “ {𝑐})) = (ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)}))
6152, 60eqtr2d 2809 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → (ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)}) = (𝑈 “ (𝐼 ∖ {𝑐})))
6261fveq2d 6352 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)})) = ((LSpan‘𝐹)‘(𝑈 “ (𝐼 ∖ {𝑐}))))
632, 1, 15, 3, 16, 26frlmsslsp 20372 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉 ∧ (𝐼 ∖ {𝑐}) ⊆ 𝐼) → ((LSpan‘𝐹)‘(𝑈 “ (𝐼 ∖ {𝑐}))) = {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑐})})
6427, 28, 29, 63syl3anc 1480 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → ((LSpan‘𝐹)‘(𝑈 “ (𝐼 ∖ {𝑐}))) = {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑐})})
6562, 64eqtrd 2808 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)})) = {𝑎 ∈ (Base‘𝐹) ∣ (𝑎 supp (0g𝑅)) ⊆ (𝐼 ∖ {𝑐})})
6644, 65neleqtrrd 2875 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}))) → ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)(𝑈𝑐)) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)})))
6766ralrimivva 3123 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ∀𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)(𝑈𝑐)) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)})))
68 oveq2 6820 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑈𝑐) → (𝑏( ·𝑠𝐹)𝑎) = (𝑏( ·𝑠𝐹)(𝑈𝑐)))
69 sneq 4336 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑈𝑐) → {𝑎} = {(𝑈𝑐)})
7069difeq2d 3886 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑈𝑐) → (ran 𝑈 ∖ {𝑎}) = (ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)}))
7170fveq2d 6352 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑈𝑐) → ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {𝑎})) = ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)})))
7268, 71eleq12d 2847 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑈𝑐) → ((𝑏( ·𝑠𝐹)𝑎) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {𝑎})) ↔ (𝑏( ·𝑠𝐹)(𝑈𝑐)) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)}))))
7372notbid 308 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑈𝑐) → (¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)𝑎) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {𝑎})) ↔ ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)(𝑈𝑐)) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)}))))
7473ralbidv 3138 . . . . 5 (𝑎 = (𝑈𝑐) → (∀𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)𝑎) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {𝑎})) ↔ ∀𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)(𝑈𝑐)) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)}))))
7574ralrn 6522 . . . 4 (𝑈 Fn 𝐼 → (∀𝑎 ∈ ran 𝑈𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)𝑎) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {𝑎})) ↔ ∀𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)(𝑈𝑐)) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)}))))
764, 20, 753syl 18 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (∀𝑎 ∈ ran 𝑈𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)𝑎) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {𝑎})) ↔ ∀𝑐𝐼𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)(𝑈𝑐)) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {(𝑈𝑐)}))))
7767, 76mpbird 248 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ∀𝑎 ∈ ran 𝑈𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)𝑎) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {𝑎})))
78 ovex 6844 . . . 4 (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ V
792, 78eqeltri 2849 . . 3 𝐹 ∈ V
80 eqid 2774 . . . 4 (Scalar‘𝐹) = (Scalar‘𝐹)
81 eqid 2774 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝐹)) = (Base‘(Scalar‘𝐹))
82 frlmlbs.j . . . 4 𝐽 = (LBasis‘𝐹)
83 eqid 2774 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝐹)) = (0g‘(Scalar‘𝐹))
843, 80, 25, 81, 82, 15, 83islbs 19309 . . 3 (𝐹 ∈ V → (ran 𝑈𝐽 ↔ (ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹) ∧ ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹) ∧ ∀𝑎 ∈ ran 𝑈𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)𝑎) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {𝑎})))))
8579, 84ax-mp 5 . 2 (ran 𝑈𝐽 ↔ (ran 𝑈 ⊆ (Base‘𝐹) ∧ ((LSpan‘𝐹)‘ran 𝑈) = (Base‘𝐹) ∧ ∀𝑎 ∈ ran 𝑈𝑏 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝐹)) ∖ {(0g‘(Scalar‘𝐹))}) ¬ (𝑏( ·𝑠𝐹)𝑎) ∈ ((LSpan‘𝐹)‘(ran 𝑈 ∖ {𝑎}))))
865, 24, 77, 85syl3anbrc 1434 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ran 𝑈𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 383  w3a 1098   = wceq 1634  wcel 2148  wral 3064  {crab 3068  Vcvv 3355  cdif 3726  wss 3729  {csn 4326  ccnv 5262  ran crn 5264  cima 5266  Fun wfun 6036   Fn wfn 6037  wf 6038  1-1wf1 6039  cfv 6042  (class class class)co 6812   supp csupp 7467  Basecbs 16084  Scalarcsca 16172   ·𝑠 cvsca 16173  0gc0g 16328  Ringcrg 18775  LSpanclspn 19204  LBasisclbs 19307  NzRingcnzr 19492   freeLMod cfrlm 20327   unitVec cuvc 20358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-rep 4917  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-inf2 8723  ax-cnex 10215  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-int 4623  df-iun 4667  df-iin 4668  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-se 5223  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-isom 6051  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-of 7065  df-om 7234  df-1st 7336  df-2nd 7337  df-supp 7468  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-1o 7734  df-oadd 7738  df-er 7917  df-map 8032  df-ixp 8084  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-fin 8134  df-fsupp 8453  df-sup 8525  df-oi 8592  df-card 8986  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-nn 11244  df-2 11302  df-3 11303  df-4 11304  df-5 11305  df-6 11306  df-7 11307  df-8 11308  df-9 11309  df-n0 11517  df-z 11602  df-dec 11718  df-uz 11911  df-fz 12556  df-fzo 12696  df-seq 13031  df-hash 13344  df-struct 16086  df-ndx 16087  df-slot 16088  df-base 16090  df-sets 16091  df-ress 16092  df-plusg 16182  df-mulr 16183  df-sca 16185  df-vsca 16186  df-ip 16187  df-tset 16188  df-ple 16189  df-ds 16192  df-hom 16194  df-cco 16195  df-0g 16330  df-gsum 16331  df-prds 16336  df-pws 16338  df-mre 16474  df-mrc 16475  df-acs 16477  df-mgm 17470  df-sgrp 17512  df-mnd 17523  df-mhm 17563  df-submnd 17564  df-grp 17653  df-minusg 17654  df-sbg 17655  df-mulg 17769  df-subg 17819  df-ghm 17886  df-cntz 17977  df-cmn 18422  df-abl 18423  df-mgp 18718  df-ur 18730  df-ring 18777  df-subrg 19008  df-lmod 19095  df-lss 19163  df-lsp 19205  df-lmhm 19255  df-lbs 19308  df-sra 19407  df-rgmod 19408  df-nzr 19493  df-dsmm 20313  df-frlm 20328  df-uvc 20359
This theorem is referenced by:  frlmup3  20376  frlmup4  20377  lmisfree  20418  frlmisfrlm  20424  lindsdom  33753  aacllem  43102
  Copyright terms: Public domain W3C validator