Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmbas 20321
 Description: Base set of the free module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by AV, 23-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmval.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmbas.n 𝑁 = (Base‘𝑅)
frlmbas.z 0 = (0g𝑅)
frlmbas.b 𝐵 = {𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 }
Assertion
Ref Expression
frlmbas ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐵 = (Base‘𝐹))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑅,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑊   𝑘,𝑉   0 ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐹(𝑘)

Proof of Theorem frlmbas
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6363 . . . . 5 (ringLMod‘𝑅) ∈ V
2 fnconstg 6254 . . . . 5 ((ringLMod‘𝑅) ∈ V → (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼
4 eqid 2760 . . . . 5 (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))
5 eqid 2760 . . . . 5 {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin}
64, 5dsmmbas2 20303 . . . 4 (((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼𝐼𝑊) → {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = (Base‘(𝑅m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
73, 6mpan 708 . . 3 (𝐼𝑊 → {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = (Base‘(𝑅m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
87adantl 473 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = (Base‘(𝑅m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
9 frlmbas.b . . 3 𝐵 = {𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 }
10 fvco2 6436 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼𝑥𝐼) → ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) = (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))
113, 10mpan 708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐼 → ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) = (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))
1211adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) = (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))
131fvconst2 6634 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐼 → ((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥) = (ringLMod‘𝑅))
1413adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥) = (ringLMod‘𝑅))
1514fveq2d 6357 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (0g‘(ringLMod‘𝑅)))
16 frlmbas.z . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g𝑅)
17 rlm0 19419 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑅) = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
1816, 17eqtri 2782 . . . . . . . . . . . 12 0 = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
1915, 18syl6eqr 2812 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (0g‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = 0 )
2012, 19eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) = 0 )
2120neeq2d 2992 . . . . . . . . 9 ((((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑘𝑥) ≠ ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥) ↔ (𝑘𝑥) ≠ 0 ))
2221rabbidva 3328 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼)) → {𝑥𝐼 ∣ (𝑘𝑥) ≠ ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥)} = {𝑥𝐼 ∣ (𝑘𝑥) ≠ 0 })
23 elmapfn 8048 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼) → 𝑘 Fn 𝐼)
2423adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼)) → 𝑘 Fn 𝐼)
25 fn0g 17483 . . . . . . . . . 10 0g Fn V
26 ssv 3766 . . . . . . . . . 10 ran (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) ⊆ V
27 fnco 6160 . . . . . . . . . 10 ((0g Fn V ∧ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼 ∧ ran (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) ⊆ V) → (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) Fn 𝐼)
2825, 3, 26, 27mp3an 1573 . . . . . . . . 9 (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) Fn 𝐼
29 fndmdif 6485 . . . . . . . . 9 ((𝑘 Fn 𝐼 ∧ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) Fn 𝐼) → dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = {𝑥𝐼 ∣ (𝑘𝑥) ≠ ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥)})
3024, 28, 29sylancl 697 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼)) → dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = {𝑥𝐼 ∣ (𝑘𝑥) ≠ ((0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))‘𝑥)})
31 simplr 809 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼)) → 𝐼𝑊)
32 fvex 6363 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) ∈ V
3316, 32eqeltri 2835 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
3433a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼)) → 0 ∈ V)
35 suppvalfn 7471 . . . . . . . . 9 ((𝑘 Fn 𝐼𝐼𝑊0 ∈ V) → (𝑘 supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ (𝑘𝑥) ≠ 0 })
3624, 31, 34, 35syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼)) → (𝑘 supp 0 ) = {𝑥𝐼 ∣ (𝑘𝑥) ≠ 0 })
3722, 30, 363eqtr4d 2804 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼)) → dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = (𝑘 supp 0 ))
3837eleq1d 2824 . . . . . 6 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼)) → (dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin ↔ (𝑘 supp 0 ) ∈ Fin))
39 elmapfun 8049 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼) → Fun 𝑘)
40 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼) → 𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼))
4133a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼) → 0 ∈ V)
4239, 40, 413jca 1123 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼) → (Fun 𝑘𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼) ∧ 0 ∈ V))
4342adantl 473 . . . . . . 7 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼)) → (Fun 𝑘𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼) ∧ 0 ∈ V))
44 funisfsupp 8447 . . . . . . 7 ((Fun 𝑘𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼) ∧ 0 ∈ V) → (𝑘 finSupp 0 ↔ (𝑘 supp 0 ) ∈ Fin))
4543, 44syl 17 . . . . . 6 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼)) → (𝑘 finSupp 0 ↔ (𝑘 supp 0 ) ∈ Fin))
4638, 45bitr4d 271 . . . . 5 (((𝑅𝑉𝐼𝑊) ∧ 𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼)) → (dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin ↔ 𝑘 finSupp 0 ))
4746rabbidva 3328 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → {𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = {𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 })
48 eqid 2760 . . . . . . . . 9 ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
49 frlmbas.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (Base‘𝑅)
50 rlmbas 19417 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
5149, 50eqtri 2782 . . . . . . . . 9 𝑁 = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
5248, 51pwsbas 16369 . . . . . . . 8 (((ringLMod‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼𝑊) → (𝑁𝑚 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
531, 52mpan 708 . . . . . . 7 (𝐼𝑊 → (𝑁𝑚 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
5453adantl 473 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝑁𝑚 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
55 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
5648, 55pwsval 16368 . . . . . . . . . 10 (((ringLMod‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
571, 56mpan 708 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑊 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
5857adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
59 rlmsca 19422 . . . . . . . . . 10 (𝑅𝑉𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
6059adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
6160oveq1d 6829 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
6258, 61eqtr4d 2797 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
6362fveq2d 6357 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)) = (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
6454, 63eqtrd 2794 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝑁𝑚 𝐼) = (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
65 rabeq 3332 . . . . 5 ((𝑁𝑚 𝐼) = (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) → {𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin})
6664, 65syl 17 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → {𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin} = {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin})
6747, 66eqtr3d 2796 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → {𝑘 ∈ (𝑁𝑚 𝐼) ∣ 𝑘 finSupp 0 } = {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin})
689, 67syl5eq 2806 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐵 = {𝑘 ∈ (Base‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∣ dom (𝑘 ∖ (0g ∘ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ Fin})
69 frlmval.f . . . 4 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
7069frlmval 20314 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐹 = (𝑅m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
7170fveq2d 6357 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘𝐹) = (Base‘(𝑅m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
728, 68, 713eqtr4d 2804 1 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐵 = (Base‘𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  {crab 3054  Vcvv 3340   ∖ cdif 3712   ⊆ wss 3715  {csn 4321   class class class wbr 4804   × cxp 5264  dom cdm 5266  ran crn 5267   ∘ ccom 5270  Fun wfun 6043   Fn wfn 6044  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   supp csupp 7464   ↑𝑚 cmap 8025  Fincfn 8123   finSupp cfsupp 8442  Basecbs 16079  Scalarcsca 16166  0gc0g 16322  Xscprds 16328   ↑s cpws 16329  ringLModcrglmod 19391   ⊕m cdsmm 20297   freeLMod cfrlm 20312 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-sup 8515  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-hom 16188  df-cco 16189  df-0g 16324  df-prds 16330  df-pws 16332  df-sra 19394  df-rgmod 19395  df-dsmm 20298  df-frlm 20313 This theorem is referenced by:  frlmelbas  20322  frlmfibas  20327  ellspd  20363  islindf4  20399  rrxbase  23396  rrxds  23401  frlmpwfi  38188
 Copyright terms: Public domain W3C validator