Theorem frgrwopreglem5a 27465

Description: If a friendship graph has two vertices with the same degree and two other vertices with different degrees, then there is a 4-cycle in the graph. Alternate version of frgrwopreglem5 27475 without a fixed degree and without using the sets 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrncvvdeq.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrncvvdeq.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreglem4a.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopreglem5a	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑋} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸)))

Proof of Theorem frgrwopreglem5a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2		simpl 474	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		simpl 474	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
4	2, 3	anim12i 591	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉))
5		simp2 1132	. . 3 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵))
6		frgrncvvdeq.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		frgrncvvdeq.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
8		frgrwopreglem4a.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
9	6, 7, 8	frgrwopreglem4a 27464	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵)) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
10	1, 4, 5, 9	syl3an 1164	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸)
11		simpr 479	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
12	11, 3	anim12ci 592	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉))
13		pm13.18 3013	. . . . 5 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵)) → (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝐵))
14	13	3adant3 1127	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝐵))
15	14	necomd 2987	. . 3 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝐵) ≠ (𝐷‘𝑋))
16	6, 7, 8	frgrwopreglem4a 27464	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝐵) ≠ (𝐷‘𝑋)) → {𝐵, 𝑋} ∈ 𝐸)
17	1, 12, 15, 16	syl3an 1164	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → {𝐵, 𝑋} ∈ 𝐸)
18		simpr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
19	11, 18	anim12i 591	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉))
20		simp3 1133	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))
21	6, 7, 8	frgrwopreglem4a 27464	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸)
22	1, 19, 20, 21	syl3an 1164	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → {𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸)
23	2, 18	anim12ci 592	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉))
24		pm13.181 3014	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝑌))
25	24	3adant2 1126	. . . . 5 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝑌))
26	25	necomd 2987	. . . 4 ⊢ (((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌)) → (𝐷‘𝑌) ≠ (𝐷‘𝐴))
27	6, 7, 8	frgrwopreglem4a 27464	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑌) ≠ (𝐷‘𝐴)) → {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸)
28	1, 23, 26, 27	syl3an 1164	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸)
29	22, 28	jca 555	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸))
30	10, 17, 29	jca31 558	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) ∧ ((𝐷‘𝐴) = (𝐷‘𝑋) ∧ (𝐷‘𝐴) ≠ (𝐷‘𝐵) ∧ (𝐷‘𝑋) ≠ (𝐷‘𝑌))) → (({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑋} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝐸 ∧ {𝑌, 𝐴} ∈ 𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  {cpr 4323  ‘cfv 6049  Vtxcvtx 26073  Edgcedg 26138  VtxDegcvtxdg 26571   FriendGraph cfrgr 27410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-xadd 12140  df-fz 12520  df-hash 13312  df-edg 26139  df-uhgr 26152  df-ushgr 26153  df-upgr 26176  df-umgr 26177  df-uspgr 26244  df-usgr 26245  df-nbgr 26424  df-vtxdg 26572  df-frgr 27411

This theorem is referenced by:  frgrwopreglem5  27475