Theorem frgrwopregbsn 27471

Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If ... B is a singleton, then that singleton is a universal friend". This version of frgrwopreg2 27473 is stricter (claiming that the singleton itself is a universal friend instead of claiming the existence of a universal friend only) and therefore closer to Huneke's statement. This strict variant, however, is not required for the proof of the friendship theorem. (Contributed by AV, 4-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b	⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
frgrwopreg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopregbsn	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝑋   𝑥,𝐵   𝑤,𝐴   𝑤,𝐵   𝑤,𝐺,𝑥   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤)   𝐸(𝑥,𝑤)   𝐾(𝑤)

Proof of Theorem frgrwopregbsn

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrwopreg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		frgrwopreg.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
3		frgrwopreg.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
4		frgrwopreg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
5		frgrwopreg.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
6	1, 2, 3, 4, 5	frgrwopreglem4 27469	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸)
7		ralcom 3236	. . . 4 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸)
8		snidg 4351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑋 ∈ {𝑋})
9	8	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → 𝑋 ∈ {𝑋})
10		eleq2 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = {𝑋} → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ {𝑋}))
11	10	adantl 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ {𝑋}))
12	9, 11	mpbird 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		preq2 4413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑤, 𝑣} = {𝑤, 𝑋})
14		prcom 4411	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑤, 𝑋} = {𝑋, 𝑤}
15	13, 14	syl6eq 2810	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑤, 𝑣} = {𝑋, 𝑤})
16	15	eleq1d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → ({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
17	16	ralbidv 3124	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
18	17	rspcv 3445	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
19	12, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → (∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
20	3	ssrab3 3829	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝑉
21		ssdifim 4005	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)) → 𝐴 = (𝑉 ∖ 𝐵))
22	20, 4, 21	mp2an 710	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (𝑉 ∖ 𝐵)
23		difeq2 3865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = {𝑋} → (𝑉 ∖ 𝐵) = (𝑉 ∖ {𝑋}))
24	23	adantl 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → (𝑉 ∖ 𝐵) = (𝑉 ∖ {𝑋}))
25	22, 24	syl5eq 2806	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → 𝐴 = (𝑉 ∖ {𝑋}))
26	25	raleqdv 3283	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
27	19, 26	sylibd 229	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → (∀𝑣 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
28	7, 27	syl5bi 232	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐵 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
29	6, 28	syl5com 31	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸))
30	29	3impib 1109	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑋}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑋}){𝑋, 𝑤} ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  {crab 3054   ∖ cdif 3712   ⊆ wss 3715  {csn 4321  {cpr 4323  ‘cfv 6049  Vtxcvtx 26073  Edgcedg 26138  VtxDegcvtxdg 26571   FriendGraph cfrgr 27410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-xadd 12140  df-fz 12520  df-hash 13312  df-edg 26139  df-uhgr 26152  df-ushgr 26153  df-upgr 26176  df-umgr 26177  df-uspgr 26244  df-usgr 26245  df-nbgr 26424  df-vtxdg 26572  df-frgr 27411

This theorem is referenced by:  frgrwopreg2  27473