Theorem frgrwopreg2 27498

Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If ... B is a singleton, then that singleton is a universal friend". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 4-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b	⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
frgrwopreg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopreg2	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝐵   𝑣,𝐴,𝑤   𝑣,𝐵,𝑤   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺,𝑤,𝑥   𝑤,𝑉,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤,𝑣)   𝐸(𝑥,𝑤)   𝐾(𝑤,𝑣)

Proof of Theorem frgrwopreg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrwopreg.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		frgrwopreg.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
3		frgrwopreg.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
4		frgrwopreg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	frgrwopreglem1 27491	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
6	5	simpri 473	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		hash1snb 13408	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((♯‘𝐵) = 1 ↔ ∃𝑣 𝐵 = {𝑣}))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐵) = 1 ↔ ∃𝑣 𝐵 = {𝑣})
9		exsnrex 4357	. . . . 5 ⊢ (∃𝑣 𝐵 = {𝑣} ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐵 𝐵 = {𝑣})
10		difss 3886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑉
11	4, 10	eqsstri 3782	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝑉
12		ssrexv 3814	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝑉 → (∃𝑣 ∈ 𝐵 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝐵 = {𝑣}))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐵 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝐵 = {𝑣})
14		frgrwopreg.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
15	1, 2, 3, 4, 14	frgrwopregbsn 27496	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 = {𝑣}) → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
16	15	3expia 1113	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐵 = {𝑣} → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
17	16	reximdva 3164	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑣 ∈ 𝑉 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
18	13, 17	syl5com 31	. . . . 5 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐵 𝐵 = {𝑣} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
19	9, 18	sylbi 207	. . . 4 ⊢ (∃𝑣 𝐵 = {𝑣} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
20	19	com12 32	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑣 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
21	8, 20	syl5bi 232	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((♯‘𝐵) = 1 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
22	21	imp 393	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (♯‘𝐵) = 1) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630  ∃wex 1851   ∈ wcel 2144  ∀wral 3060  ∃wrex 3061  {crab 3064  Vcvv 3349   ∖ cdif 3718   ⊆ wss 3721  {csn 4314  {cpr 4316  ‘cfv 6031  1c1 10138  ♯chash 13320  Vtxcvtx 26094  Edgcedg 26159  VtxDegcvtxdg 26595   FriendGraph cfrgr 27435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-xadd 12151  df-fz 12533  df-hash 13321  df-edg 26160  df-uhgr 26173  df-ushgr 26174  df-upgr 26197  df-umgr 26198  df-uspgr 26266  df-usgr 26267  df-nbgr 26447  df-vtxdg 26596  df-frgr 27436

This theorem is referenced by:  frgrregorufr0  27503