Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrwopreg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrwopreg2 27174
 Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If ... B is a singleton, then that singleton is a universal friend". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-May-2021.) (Proof shortened by AV, 3-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrwopreg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b 𝐵 = (𝑉𝐴)
frgrwopreg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrwopreg2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (#‘𝐵) = 1) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑣,𝐴,𝑤,𝑥   𝑤,𝐵   𝑣,𝐺,𝑤   𝑣,𝑉,𝑤   𝑣,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤,𝑣)   𝐸(𝑤,𝑣)   𝐾(𝑤,𝑣)

Proof of Theorem frgrwopreg2
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrwopreg.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 frgrwopreg.d . . . . . 6 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
3 frgrwopreg.a . . . . . 6 𝐴 = {𝑥𝑉 ∣ (𝐷𝑥) = 𝐾}
4 frgrwopreg.b . . . . . 6 𝐵 = (𝑉𝐴)
51, 2, 3, 4frgrwopreglem1 27167 . . . . 5 (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
65simpri 478 . . . 4 𝐵 ∈ V
7 hash1snb 13202 . . . 4 (𝐵 ∈ V → ((#‘𝐵) = 1 ↔ ∃𝑣 𝐵 = {𝑣}))
86, 7ax-mp 5 . . 3 ((#‘𝐵) = 1 ↔ ∃𝑣 𝐵 = {𝑣})
9 exsnrex 4219 . . . . 5 (∃𝑣 𝐵 = {𝑣} ↔ ∃𝑣𝐵 𝐵 = {𝑣})
10 difss 3735 . . . . . . . 8 (𝑉𝐴) ⊆ 𝑉
114, 10eqsstri 3633 . . . . . . 7 𝐵𝑉
12 ssrexv 3665 . . . . . . 7 (𝐵𝑉 → (∃𝑣𝐵 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣𝑉 𝐵 = {𝑣}))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6 (∃𝑣𝐵 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣𝑉 𝐵 = {𝑣})
14 frgrwopreg.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (Edg‘𝐺)
151, 2, 3, 4, 14frgrwopreglem4 27170 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑤𝐴𝑢𝐵 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸)
16 ralcom 3096 . . . . . . . . 9 (∀𝑤𝐴𝑢𝐵 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑢𝐵𝑤𝐴 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸)
17 vsnid 4207 . . . . . . . . . . . 12 𝑣 ∈ {𝑣}
18 eleq2 2689 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = {𝑣} → (𝑣𝐵𝑣 ∈ {𝑣}))
1917, 18mpbiri 248 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = {𝑣} → 𝑣𝐵)
20 preq2 4267 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑣 → {𝑤, 𝑢} = {𝑤, 𝑣})
2120eleq1d 2685 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑣 → ({𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸 ↔ {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸))
2221ralbidv 2985 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑣 → (∀𝑤𝐴 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸))
2322rspcv 3303 . . . . . . . . . . 11 (𝑣𝐵 → (∀𝑢𝐵𝑤𝐴 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸 → ∀𝑤𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸))
2419, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = {𝑣} → (∀𝑢𝐵𝑤𝐴 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸 → ∀𝑤𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸))
253ssrab3 3686 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴𝑉
26 ssdifim 3860 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉𝐵 = (𝑉𝐴)) → 𝐴 = (𝑉𝐵))
2725, 4, 26mp2an 708 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (𝑉𝐵)
28 difeq2 3720 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = {𝑣} → (𝑉𝐵) = (𝑉 ∖ {𝑣}))
2927, 28syl5eq 2667 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = {𝑣} → 𝐴 = (𝑉 ∖ {𝑣}))
30 prcom 4265 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑤, 𝑣} = {𝑣, 𝑤}
3130eleq1i 2691 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = {𝑣} → ({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
3329, 32raleqbidv 3150 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = {𝑣} → (∀𝑤𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
3424, 33sylibd 229 . . . . . . . . 9 (𝐵 = {𝑣} → (∀𝑢𝐵𝑤𝐴 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
3516, 34syl5bi 232 . . . . . . . 8 (𝐵 = {𝑣} → (∀𝑤𝐴𝑢𝐵 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
3615, 35syl5com 31 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝐵 = {𝑣} → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
3736reximdv 3015 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑣𝑉 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
3813, 37syl5com 31 . . . . 5 (∃𝑣𝐵 𝐵 = {𝑣} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
399, 38sylbi 207 . . . 4 (∃𝑣 𝐵 = {𝑣} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
4039com12 32 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑣 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
418, 40syl5bi 232 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((#‘𝐵) = 1 → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
4241imp 445 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (#‘𝐵) = 1) → ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1482  ∃wex 1703   ∈ wcel 1989  ∀wral 2911  ∃wrex 2912  {crab 2915  Vcvv 3198   ∖ cdif 3569   ⊆ wss 3572  {csn 4175  {cpr 4177  ‘cfv 5886  1c1 9934  #chash 13112  Vtxcvtx 25868  Edgcedg 25933  VtxDegcvtxdg 26355   FriendGraph cfrgr 27113 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-fal 1488  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-card 8762  df-cda 8987  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-n0 11290  df-xnn0 11361  df-z 11375  df-uz 11685  df-xadd 11944  df-fz 12324  df-hash 13113  df-edg 25934  df-uhgr 25947  df-ushgr 25948  df-upgr 25971  df-umgr 25972  df-uspgr 26039  df-usgr 26040  df-nbgr 26222  df-vtxdg 26356  df-frgr 27114 This theorem is referenced by:  frgrregorufr0  27175
 Copyright terms: Public domain W3C validator