Theorem frgrwopreg2 27174

Description: According to statement 5 in [Huneke] p. 2: "If ... B is a singleton, then that singleton is a universal friend". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-May-2021.) (Proof shortened by AV, 3-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrwopreg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrwopreg.d	⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
frgrwopreg.a	⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
frgrwopreg.b	⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
frgrwopreg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrwopreg2	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (#‘𝐵) = 1) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐾   𝑥,𝐷   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑣,𝐴,𝑤,𝑥   𝑤,𝐵   𝑣,𝐺,𝑤   𝑣,𝑉,𝑤   𝑣,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤,𝑣)   𝐸(𝑤,𝑣)   𝐾(𝑤,𝑣)

Proof of Theorem frgrwopreg2

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrwopreg.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		frgrwopreg.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
3		frgrwopreg.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ (𝐷‘𝑥) = 𝐾}
4		frgrwopreg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)
5	1, 2, 3, 4	frgrwopreglem1 27167	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)
6	5	simpri 478	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		hash1snb 13202	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → ((#‘𝐵) = 1 ↔ ∃𝑣 𝐵 = {𝑣}))
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((#‘𝐵) = 1 ↔ ∃𝑣 𝐵 = {𝑣})
9		exsnrex 4219	. . . . 5 ⊢ (∃𝑣 𝐵 = {𝑣} ↔ ∃𝑣 ∈ 𝐵 𝐵 = {𝑣})
10		difss 3735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∖ 𝐴) ⊆ 𝑉
11	4, 10	eqsstri 3633	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝑉
12		ssrexv 3665	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝑉 → (∃𝑣 ∈ 𝐵 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝐵 = {𝑣}))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐵 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝐵 = {𝑣})
14		frgrwopreg.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
15	1, 2, 3, 4, 14	frgrwopreglem4 27170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑢 ∈ 𝐵 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸)
16		ralcom 3096	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑢 ∈ 𝐵 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸)
17		vsnid 4207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑣 ∈ {𝑣}
18		eleq2 2689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = {𝑣} → (𝑣 ∈ 𝐵 ↔ 𝑣 ∈ {𝑣}))
19	17, 18	mpbiri 248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = {𝑣} → 𝑣 ∈ 𝐵)
20		preq2 4267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → {𝑤, 𝑢} = {𝑤, 𝑣})
21	20	eleq1d 2685	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → ({𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸 ↔ {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸))
22	21	ralbidv 2985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑢 = 𝑣 → (∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸))
23	22	rspcv 3303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐵 → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸))
24	19, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = {𝑣} → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸))
25	3	ssrab3 3686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝑉
26		ssdifim 3860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑉 ∧ 𝐵 = (𝑉 ∖ 𝐴)) → 𝐴 = (𝑉 ∖ 𝐵))
27	25, 4, 26	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (𝑉 ∖ 𝐵)
28		difeq2 3720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 = {𝑣} → (𝑉 ∖ 𝐵) = (𝑉 ∖ {𝑣}))
29	27, 28	syl5eq 2667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = {𝑣} → 𝐴 = (𝑉 ∖ {𝑣}))
30		prcom 4265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑤, 𝑣} = {𝑣, 𝑤}
31	30	eleq1i 2691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = {𝑣} → ({𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ {𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
33	29, 32	raleqbidv 3150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 = {𝑣} → (∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑣} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
34	24, 33	sylibd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = {𝑣} → (∀𝑢 ∈ 𝐵 ∀𝑤 ∈ 𝐴 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
35	16, 34	syl5bi 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = {𝑣} → (∀𝑤 ∈ 𝐴 ∀𝑢 ∈ 𝐵 {𝑤, 𝑢} ∈ 𝐸 → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
36	15, 35	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝐵 = {𝑣} → ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
37	36	reximdv 3015	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑣 ∈ 𝑉 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
38	13, 37	syl5com 31	. . . . 5 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝐵 𝐵 = {𝑣} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
39	9, 38	sylbi 207	. . . 4 ⊢ (∃𝑣 𝐵 = {𝑣} → (𝐺 ∈ FriendGraph → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
40	39	com12 32	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑣 𝐵 = {𝑣} → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
41	8, 40	syl5bi 232	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((#‘𝐵) = 1 → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
42	41	imp 445	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (#‘𝐵) = 1) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1482  ∃wex 1703   ∈ wcel 1989  ∀wral 2911  ∃wrex 2912  {crab 2915  Vcvv 3198   ∖ cdif 3569   ⊆ wss 3572  {csn 4175  {cpr 4177  ‘cfv 5886  1c1 9934  #chash 13112  Vtxcvtx 25868  Edgcedg 25933  VtxDegcvtxdg 26355   FriendGraph cfrgr 27113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-fal 1488  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-card 8762  df-cda 8987  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-n0 11290  df-xnn0 11361  df-z 11375  df-uz 11685  df-xadd 11944  df-fz 12324  df-hash 13113  df-edg 25934  df-uhgr 25947  df-ushgr 25948  df-upgr 25971  df-umgr 25972  df-uspgr 26039  df-usgr 26040  df-nbgr 26222  df-vtxdg 26356  df-frgr 27114

This theorem is referenced by:  frgrregorufr0  27175