Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrregorufrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrregorufrg 27451
 Description: If there is a vertex having degree 𝑘 for each nonnegative integer 𝑘 in a friendship graph, then there is a universal friend. This corresponds to claim 2 in [Huneke] p. 2: "Suppose there is a vertex of degree k > 1. ... all vertices have degree k, unless there is a universal friend. ... It follows that G is k-regular, i.e., the degree of every vertex is k". Variant of frgrregorufr 27450 with generalization. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Sep-2018.) (Revised by AV, 26-May-2021.) (Proof shortened by AV, 12-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrregorufrg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrregorufrg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrregorufrg (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (∃𝑎𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (𝐺RegUSGraph𝑘 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐺,𝑎,𝑘,𝑣,𝑤   𝐸,𝑎,𝑣   𝑉,𝑎,𝑣,𝑤   𝑘,𝑎,𝑣,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑤,𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem frgrregorufrg
StepHypRef Expression
1 frgrregorufrg.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 frgrregorufrg.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3 eqid 2748 . . . . 5 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
41, 2, 3frgrregorufr 27450 . . . 4 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑎𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
54adantr 472 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∃𝑎𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
6 frgrusgr 27385 . . . . 5 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
7 nn0xnn0 11530 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0*)
81, 3usgreqdrusgr 26645 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘) → 𝐺RegUSGraph𝑘)
983expia 1114 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0*) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘𝐺RegUSGraph𝑘))
106, 7, 9syl2an 495 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘𝐺RegUSGraph𝑘))
1110orim1d 920 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸) → (𝐺RegUSGraph𝑘 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
125, 11syld 47 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∃𝑎𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (𝐺RegUSGraph𝑘 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
1312ralrimiva 3092 1 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (∃𝑎𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (𝐺RegUSGraph𝑘 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1620   ∈ wcel 2127  ∀wral 3038  ∃wrex 3039   ∖ cdif 3700  {csn 4309  {cpr 4311   class class class wbr 4792  ‘cfv 6037  ℕ0cn0 11455  ℕ0*cxnn0 11526  Vtxcvtx 26044  Edgcedg 26109  USGraphcusgr 26214  VtxDegcvtxdg 26542  RegUSGraphcrusgr 26633   FriendGraph cfrgr 27381 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8926  df-cda 9153  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-n0 11456  df-xnn0 11527  df-z 11541  df-uz 11851  df-xadd 12111  df-fz 12491  df-hash 13283  df-edg 26110  df-uhgr 26123  df-ushgr 26124  df-upgr 26147  df-umgr 26148  df-uspgr 26215  df-usgr 26216  df-nbgr 26395  df-vtxdg 26543  df-rgr 26634  df-rusgr 26635  df-frgr 27382 This theorem is referenced by:  friendshipgt3  27537
 Copyright terms: Public domain W3C validator