MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrregorufr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrregorufr 27163
Description: If there is a vertex having degree 𝐾 for each (nonnegative integer) 𝐾 in a friendship graph, then either all vertices have degree 𝐾 or there is a universal friend. This corresponds to claim 2 in [Huneke] p. 2: "Suppose there is a vertex of degree k > 1. ... all vertices have degree k, unless there is a universal friend. ... It follows that G is k-regular, i.e., the degree of every vertex is k". (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrregorufr0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrregorufr0.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
frgrregorufr0.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrregorufr (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑎𝑉 (𝐷𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐷,𝑤   𝑣,𝐺,𝑤   𝑣,𝐾,𝑤   𝑣,𝑉,𝑤   𝐷,𝑎,𝑣   𝐸,𝑎   𝐾,𝑎   𝑉,𝑎,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑤,𝑣)   𝐺(𝑎)

Proof of Theorem frgrregorufr
StepHypRef Expression
1 frgrregorufr0.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 frgrregorufr0.e . . 3 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3 frgrregorufr0.d . . 3 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
41, 2, 3frgrregorufr0 27162 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 ∨ ∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) ≠ 𝐾 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
5 orc 400 . . . 4 (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
65a1d 25 . . 3 (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 → (∃𝑎𝑉 (𝐷𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
7 fveq2 6178 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑎 → (𝐷𝑣) = (𝐷𝑎))
87neeq1d 2850 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑎 → ((𝐷𝑣) ≠ 𝐾 ↔ (𝐷𝑎) ≠ 𝐾))
98rspcva 3302 . . . . . 6 ((𝑎𝑉 ∧ ∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) ≠ 𝐾) → (𝐷𝑎) ≠ 𝐾)
10 df-ne 2792 . . . . . . 7 ((𝐷𝑎) ≠ 𝐾 ↔ ¬ (𝐷𝑎) = 𝐾)
11 pm2.21 120 . . . . . . 7 (¬ (𝐷𝑎) = 𝐾 → ((𝐷𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
1210, 11sylbi 207 . . . . . 6 ((𝐷𝑎) ≠ 𝐾 → ((𝐷𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
139, 12syl 17 . . . . 5 ((𝑎𝑉 ∧ ∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) ≠ 𝐾) → ((𝐷𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
1413ancoms 469 . . . 4 ((∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) ≠ 𝐾𝑎𝑉) → ((𝐷𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
1514rexlimdva 3027 . . 3 (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) ≠ 𝐾 → (∃𝑎𝑉 (𝐷𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
16 olc 399 . . . 4 (∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸))
1716a1d 25 . . 3 (∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸 → (∃𝑎𝑉 (𝐷𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
186, 15, 173jaoi 1389 . 2 ((∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 ∨ ∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) ≠ 𝐾 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸) → (∃𝑎𝑉 (𝐷𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
194, 18syl 17 1 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑎𝑉 (𝐷𝑎) = 𝐾 → (∀𝑣𝑉 (𝐷𝑣) = 𝐾 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384  w3o 1035   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wral 2909  wrex 2910  cdif 3564  {csn 4168  {cpr 4170  cfv 5876  Vtxcvtx 25855  Edgcedg 25920  VtxDegcvtxdg 26342   FriendGraph cfrgr 27100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-uz 11673  df-xadd 11932  df-fz 12312  df-hash 13101  df-edg 25921  df-uhgr 25934  df-ushgr 25935  df-upgr 25958  df-umgr 25959  df-uspgr 26026  df-usgr 26027  df-nbgr 26209  df-vtxdg 26343  df-frgr 27101
This theorem is referenced by:  frgrregorufrg  27164
  Copyright terms: Public domain W3C validator