MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrregord13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrregord13 27595
Description: If a nonempty finite friendship graph is 𝐾-regular, then it must have order 1 or 3. Special case of frgrregord013 27594. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
frgrreggt1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrregord13 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))

Proof of Theorem frgrregord13
StepHypRef Expression
1 simpl1 1227 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2 simpl2 1229 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → 𝑉 ∈ Fin)
3 simpr 471 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → 𝐺RegUSGraph𝐾)
4 frgrreggt1.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
54frgrregord013 27594 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → ((♯‘𝑉) = 0 ∨ (♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
61, 2, 3, 5syl3anc 1476 . 2 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → ((♯‘𝑉) = 0 ∨ (♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
7 hasheq0 13356 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
8 eqneqall 2954 . . . . . . . . 9 (𝑉 = ∅ → (𝑉 ≠ ∅ → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
97, 8syl6bi 243 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 0 → (𝑉 ≠ ∅ → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))))
109com23 86 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → ((♯‘𝑉) = 0 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))))
1110a1i 11 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → ((♯‘𝑉) = 0 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))))
12113imp 1101 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((♯‘𝑉) = 0 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
1312adantr 466 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → ((♯‘𝑉) = 0 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
1413com12 32 . . 3 ((♯‘𝑉) = 0 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
15 orc 856 . . . 4 ((♯‘𝑉) = 1 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
1615a1d 25 . . 3 ((♯‘𝑉) = 1 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
17 olc 857 . . . 4 ((♯‘𝑉) = 3 → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
1817a1d 25 . . 3 ((♯‘𝑉) = 3 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
1914, 16, 183jaoi 1539 . 2 (((♯‘𝑉) = 0 ∨ (♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3)))
206, 19mpcom 38 1 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → ((♯‘𝑉) = 1 ∨ (♯‘𝑉) = 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wo 836  w3o 1070  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  c0 4063   class class class wbr 4786  cfv 6031  Fincfn 8109  0cc0 10138  1c1 10139  3c3 11273  chash 13321  Vtxcvtx 26095  RegUSGraphcrusgr 26687   FriendGraph cfrgr 27438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-ac2 9487  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-ifp 1050  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-ec 7898  df-qs 7902  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-ac 9139  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-xadd 12152  df-ico 12386  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-word 13495  df-lsw 13496  df-concat 13497  df-s1 13498  df-substr 13499  df-reps 13502  df-csh 13744  df-s2 13802  df-s3 13803  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-prm 15593  df-phi 15678  df-vtx 26097  df-iedg 26098  df-edg 26161  df-uhgr 26174  df-ushgr 26175  df-upgr 26198  df-umgr 26199  df-uspgr 26267  df-usgr 26268  df-fusgr 26432  df-nbgr 26448  df-vtxdg 26597  df-rgr 26688  df-rusgr 26689  df-wlks 26730  df-wlkson 26731  df-trls 26824  df-trlson 26825  df-pths 26847  df-spths 26848  df-pthson 26849  df-spthson 26850  df-wwlks 26958  df-wwlksn 26959  df-wwlksnon 26960  df-wspthsn 26961  df-wspthsnon 26962  df-clwwlk 27132  df-clwwlkn 27176  df-clwwlknon 27260  df-conngr 27367  df-frgr 27439
This theorem is referenced by:  frgrogt3nreg  27596
  Copyright terms: Public domain W3C validator