MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrreg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrreg 27381
Description: If a finite nonempty friendship graph is 𝐾-regular, then 𝐾 must be 2 (or 0). (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
frgrreggt1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrreg ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))

Proof of Theorem frgrreg
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ancom 465 . . . . . . . . 9 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ↔ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
2 ancom 465 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ↔ (𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ))
31, 2anbi12i 733 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) ↔ ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph )))
43biimpi 206 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph )))
54ancomd 466 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → ((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)))
6 frgrreggt1.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
76numclwwlk7lem 27376 . . . . . 6 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
85, 7syl 17 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
9 neanior 2915 . . . . . . . 8 ((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) ↔ ¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
10 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
11 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
12 lenlt 10154 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐾))
1310, 11, 12sylancl 695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐾))
1413adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 𝐾))
15 elnnne0 11344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0))
16 nnle1eq1 11086 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ≤ 1 ↔ 𝐾 = 1))
1716biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ≤ 1 → 𝐾 = 1))
1815, 17sylbir 225 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ≤ 1 → 𝐾 = 1))
1918a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ≠ 0) → (𝐾 ≠ 2 → (𝐾 ≤ 1 → 𝐾 = 1)))
2019expimpd 628 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) → (𝐾 ≤ 1 → 𝐾 = 1)))
2120impcom 445 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 1 → 𝐾 = 1))
2214, 21sylbird 250 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (¬ 1 < 𝐾𝐾 = 1))
236fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (#‘𝑉) = (#‘(Vtx‘𝐺))
2423eqeq1i 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑉) = 1 ↔ (#‘(Vtx‘𝐺)) = 1)
2524biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑉) = 1 → (#‘(Vtx‘𝐺)) = 1)
26 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → 𝐺RegUSGraph𝐾)
2726adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → 𝐺RegUSGraph𝐾)
28 rusgr1vtx 26540 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘(Vtx‘𝐺)) = 1 ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → 𝐾 = 0)
2925, 27, 28syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝑉) = 1 ∧ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾))) → 𝐾 = 0)
3029orcd 406 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑉) = 1 ∧ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾))) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
3130ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑉) = 1 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
3231a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 1 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
33 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
346, 33rusgrprop0 26519 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺RegUSGraph𝐾 → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
35 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (#‘𝑉) = 1 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
36 hashnncl 13195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) ∈ ℕ ↔ 𝑉 ≠ ∅))
37 df-ne 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝑉) ≠ 1 ↔ ¬ (#‘𝑉) = 1)
38 nngt1ne1 11085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (1 < (#‘𝑉) ↔ (#‘𝑉) ≠ 1))
3938biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝑉) ≠ 1 → 1 < (#‘𝑉)))
4037, 39syl5bir 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (¬ (#‘𝑉) = 1 → 1 < (#‘𝑉)))
4136, 40syl6bir 244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ≠ ∅ → (¬ (#‘𝑉) = 1 → 1 < (#‘𝑉))))
4241imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (¬ (#‘𝑉) = 1 → 1 < (#‘𝑉)))
4342impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (#‘𝑉) = 1 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 1 < (#‘𝑉))
446vdgn1frgrv3 27277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (#‘𝑉)) → ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1)
4535, 43, 443imp3i2an 1299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ (#‘𝑉) = 1 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1)
46 r19.26 3093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (∀𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) ↔ (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
47 r19.2z 4093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑉 ≠ ∅ ∧ ∀𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾)) → ∃𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾))
48 neeq1 2885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ↔ 𝐾 ≠ 1))
4948biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 → 𝐾 ≠ 1))
5049impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → 𝐾 ≠ 1)
51 eqneqall 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐾 = 1 → (𝐾 ≠ 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5251com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐾 ≠ 1 → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5350, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5453rexlimivw 3058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (∃𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5547, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑉 ≠ ∅ ∧ ∀𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾)) → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
5655ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣𝑉 (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
5746, 56syl5bir 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑉 ≠ ∅ → ((∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
5857expd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
5958com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 → (𝐾 = 1 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
6059adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 → (𝐾 = 1 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
61603ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ (#‘𝑉) = 1 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) ≠ 1 → (𝐾 = 1 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
6245, 61mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ (#‘𝑉) = 1 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → (𝐾 = 1 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
63623exp 1283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ (#‘𝑉) = 1 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 1 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
6463com15 101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
65643ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐾 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
6634, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺RegUSGraph𝐾 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))))
6766impcom 445 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
6867impcom 445 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → (𝐾 = 1 → (¬ (#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
6968com13 88 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (#‘𝑉) = 1 → (𝐾 = 1 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
7032, 69pm2.61i 176 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 = 1 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
7122, 70syl6 35 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (¬ 1 < 𝐾 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
7271ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (¬ 1 < 𝐾 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
7372com23 86 . . . . . . . 8 ((𝐾 ≠ 0 ∧ 𝐾 ≠ 2) → (¬ 1 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
749, 73sylbir 225 . . . . . . 7 (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → (¬ 1 < 𝐾 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
7574impcom 445 . . . . . 6 ((¬ 1 < 𝐾 ∧ ¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
7675com13 88 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((¬ 1 < 𝐾 ∧ ¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
778, 76mpd 15 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → ((¬ 1 < 𝐾 ∧ ¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
7877com12 32 . . 3 ((¬ 1 < 𝐾 ∧ ¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)) → (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
7978exp4b 631 . 2 (¬ 1 < 𝐾 → (¬ (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))))
80 simprl 809 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
81 simpl 472 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ∈ Fin)
8281ad2antlr 763 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → 𝑉 ∈ Fin)
83 simpr 476 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → 𝑉 ≠ ∅)
8483ad2antlr 763 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → 𝑉 ≠ ∅)
85 simpl 472 . . . . . 6 ((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) → 1 < 𝐾)
8685, 26anim12ci 590 . . . . 5 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → (𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 1 < 𝐾))
876frgrreggt1 27380 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 1 < 𝐾) → 𝐾 = 2))
8887imp 444 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ (𝐺RegUSGraph𝐾 ∧ 1 < 𝐾)) → 𝐾 = 2)
8980, 82, 84, 86, 88syl31anc 1369 . . . 4 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → 𝐾 = 2)
9089olcd 407 . . 3 (((1 < 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅)) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾)) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))
9190exp31 629 . 2 (1 < 𝐾 → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
92 2a1 28 . 2 ((𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2) → ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2))))
9379, 91, 92pm2.61ii 177 1 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → (𝐾 = 0 ∨ 𝐾 = 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  c0 3948   class class class wbr 4685  cfv 5926  Fincfn 7997  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   < clt 10112  cle 10113  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  0*cxnn0 11401  #chash 13157  Vtxcvtx 25919  USGraphcusgr 26089  VtxDegcvtxdg 26417  RegUSGraphcrusgr 26508   FriendGraph cfrgr 27236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-ac2 9323  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1033  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-ac 8977  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-word 13331  df-lsw 13332  df-concat 13333  df-s1 13334  df-substr 13335  df-reps 13338  df-csh 13581  df-s2 13639  df-s3 13640  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-phi 15518  df-vtx 25921  df-iedg 25922  df-edg 25985  df-uhgr 25998  df-ushgr 25999  df-upgr 26022  df-umgr 26023  df-uspgr 26090  df-usgr 26091  df-fusgr 26254  df-nbgr 26270  df-vtxdg 26418  df-rgr 26509  df-rusgr 26510  df-wlks 26551  df-wlkson 26552  df-trls 26645  df-trlson 26646  df-pths 26668  df-spths 26669  df-pthson 26670  df-spthson 26671  df-wwlks 26778  df-wwlksn 26779  df-wwlksnon 26780  df-wspthsn 26781  df-wspthsnon 26782  df-clwwlk 26950  df-clwwlkn 26983  df-clwwlknon 27061  df-frgr 27237
This theorem is referenced by:  frgrregord013  27382
  Copyright terms: Public domain W3C validator