Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrogt3nreg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrogt3nreg 27384
 Description: If a finite friendship graph has an order greater than 3, it cannot be 𝑘-regular for any 𝑘. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
frgrreggt1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrogt3nreg ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ¬ 𝐺RegUSGraph𝑘)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝑉

Proof of Theorem frgrogt3nreg
StepHypRef Expression
1 simp1 1081 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2 simp2 1082 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 𝑉 ∈ Fin)
3 hashcl 13185 . . . . . . . . . . 11 (𝑉 ∈ Fin → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
4 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
5 3re 11132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℝ)
7 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (#‘𝑉) ∈ ℝ)
84, 6, 73jca 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℝ))
98adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℝ))
10 3pos 11152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 3
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 0 < 3)
12 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 3 < (#‘𝑉))
13 lttr 10152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℝ) → ((0 < 3 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 0 < (#‘𝑉)))
1413imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℝ) ∧ (0 < 3 ∧ 3 < (#‘𝑉))) → 0 < (#‘𝑉))
159, 11, 12, 14syl12anc 1364 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 0 < (#‘𝑉))
1615ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (#‘𝑉) → 0 < (#‘𝑉)))
17 ltne 10172 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (#‘𝑉)) → (#‘𝑉) ≠ 0)
184, 16, 17syl6an 567 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (#‘𝑉) → (#‘𝑉) ≠ 0))
19 hasheq0 13192 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
2019necon3bid 2867 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) ≠ 0 ↔ 𝑉 ≠ ∅))
2120biimpcd 239 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑉) ≠ 0 → (𝑉 ∈ Fin → 𝑉 ≠ ∅))
2218, 21syl6 35 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (#‘𝑉) → (𝑉 ∈ Fin → 𝑉 ≠ ∅)))
2322com23 86 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝑉 ∈ Fin → (3 < (#‘𝑉) → 𝑉 ≠ ∅)))
243, 23mpcom 38 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ Fin → (3 < (#‘𝑉) → 𝑉 ≠ ∅))
2524a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ∈ Fin → (3 < (#‘𝑉) → 𝑉 ≠ ∅)))
26253imp 1275 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 𝑉 ≠ ∅)
271, 2, 263jca 1261 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅))
2827ad2antrl 764 . . . . . 6 ((𝐺RegUSGraph𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅))
29 simpl 472 . . . . . 6 ((𝐺RegUSGraph𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝐺RegUSGraph𝑘)
30 frgrreggt1.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3130frgrregord13 27383 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺RegUSGraph𝑘) → ((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))
3228, 29, 31syl2anc 694 . . . . 5 ((𝐺RegUSGraph𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))
33 1red 10093 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 1 ∈ ℝ)
345a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 3 ∈ ℝ)
357adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (#‘𝑉) ∈ ℝ)
36 1lt3 11234 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 3
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 1 < 3)
3833, 34, 35, 37, 12lttrd 10236 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 1 < (#‘𝑉))
3933, 38gtned 10210 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (#‘𝑉) ≠ 1)
40 eqneqall 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ≠ 1 → ¬ 𝐺RegUSGraph𝑘))
4139, 40syl5com 31 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → ((#‘𝑉) = 1 → ¬ 𝐺RegUSGraph𝑘))
42 ltne 10172 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℝ ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (#‘𝑉) ≠ 3)
436, 42sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (#‘𝑉) ≠ 3)
44 eqneqall 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑉) = 3 → ((#‘𝑉) ≠ 3 → ¬ 𝐺RegUSGraph𝑘))
4543, 44syl5com 31 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → ((#‘𝑉) = 3 → ¬ 𝐺RegUSGraph𝑘))
4641, 45jaod 394 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺RegUSGraph𝑘))
4746ex 449 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (#‘𝑉) → (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺RegUSGraph𝑘)))
483, 47syl 17 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → (3 < (#‘𝑉) → (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺RegUSGraph𝑘)))
4948a1i 11 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ∈ Fin → (3 < (#‘𝑉) → (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺RegUSGraph𝑘))))
50493imp 1275 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺RegUSGraph𝑘))
5150ad2antrl 764 . . . . 5 ((𝐺RegUSGraph𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺RegUSGraph𝑘))
5232, 51mpd 15 . . . 4 ((𝐺RegUSGraph𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ¬ 𝐺RegUSGraph𝑘)
5352ex 449 . . 3 (𝐺RegUSGraph𝑘 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐺RegUSGraph𝑘))
54 ax-1 6 . . 3 𝐺RegUSGraph𝑘 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐺RegUSGraph𝑘))
5553, 54pm2.61i 176 . 2 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐺RegUSGraph𝑘)
5655ralrimiva 2995 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ¬ 𝐺RegUSGraph𝑘)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∅c0 3948   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  Fincfn 7997  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   < clt 10112  3c3 11109  ℕ0cn0 11330  #chash 13157  Vtxcvtx 25919  RegUSGraphcrusgr 26508   FriendGraph cfrgr 27236 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-ac2 9323  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1033  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-ac 8977  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-word 13331  df-lsw 13332  df-concat 13333  df-s1 13334  df-substr 13335  df-reps 13338  df-csh 13581  df-s2 13639  df-s3 13640  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-phi 15518  df-vtx 25921  df-iedg 25922  df-edg 25985  df-uhgr 25998  df-ushgr 25999  df-upgr 26022  df-umgr 26023  df-uspgr 26090  df-usgr 26091  df-fusgr 26254  df-nbgr 26270  df-vtxdg 26418  df-rgr 26509  df-rusgr 26510  df-wlks 26551  df-wlkson 26552  df-trls 26645  df-trlson 26646  df-pths 26668  df-spths 26669  df-pthson 26670  df-spthson 26671  df-wwlks 26778  df-wwlksn 26779  df-wwlksnon 26780  df-wspthsn 26781  df-wspthsnon 26782  df-clwwlk 26950  df-clwwlkn 26983  df-clwwlknon 27061  df-conngr 27165  df-frgr 27237 This theorem is referenced by:  friendshipgt3  27385
 Copyright terms: Public domain W3C validator