MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrnbnb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrnbnb 27055
Description: If two neighbors 𝑈 and 𝑊 of a vertex 𝑋 have a common neighbor 𝐴 in a friendship graph, then this common neighbor 𝐴 must be the vertex 𝑋. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Dec-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrnbnb.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
frgrnbnb.n 𝐷 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
Assertion
Ref Expression
frgrnbnb ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷) ∧ 𝑈𝑊) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → 𝐴 = 𝑋))

Proof of Theorem frgrnbnb
StepHypRef Expression
1 frgrusgr 27024 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph )
2 frgrnbnb.n . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
32eleq2i 2690 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐷𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))
4 frgrnbnb.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (Edg‘𝐺)
54nbusgreledg 26170 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ↔ {𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸))
65biimpd 219 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸))
73, 6syl5bi 232 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑈𝐷 → {𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸))
82eleq2i 2690 . . . . . . . . 9 (𝑊𝐷𝑊 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))
94nbusgreledg 26170 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑊 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ↔ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸))
109biimpd 219 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑊 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸))
118, 10syl5bi 232 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑊𝐷 → {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸))
127, 11anim12d 585 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑈𝐷𝑊𝐷) → ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)))
1312imp 445 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) → ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸))
14 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
1514nbgrisvtx 26176 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → 𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺))
1615ex 450 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → 𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺)))
173, 16syl5bi 232 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑈𝐷𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺)))
1814nbgrisvtx 26176 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑊 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺))
1918ex 450 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑊 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))
208, 19syl5bi 232 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑊𝐷𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))
2117, 20anim12d 585 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑈𝐷𝑊𝐷) → (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺))))
2221imp 445 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) → (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))
234, 14usgrpredgv 26016 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ {𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸) → (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
2423ad2ant2r 782 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸)) → (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
25 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 = 𝑋 → (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐴 = 𝑋))
26252a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴 = 𝑋 → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → (((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐴 = 𝑋))))
27262a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 = 𝑋 → (𝑈𝑊 → (({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → (((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐴 = 𝑋))))))
28 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → 𝐺 ∈ USGraph )
29 simprrr 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺))
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺))
31 simprrl 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → 𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺))
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → 𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺))
33 necom 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑈𝑊𝑊𝑈)
3433biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑈𝑊𝑊𝑈)
3534adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐴𝑋𝑈𝑊) → 𝑊𝑈)
3635adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → 𝑊𝑈)
3730, 32, 363jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → (𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊𝑈))
38 simprll 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
40 simprlr 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
42 necom 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝐴𝑋𝑋𝐴)
4342biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐴𝑋𝑋𝐴)
4443adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐴𝑋𝑈𝑊) → 𝑋𝐴)
4544adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → 𝑋𝐴)
4639, 41, 453jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴))
4728, 37, 463jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊𝑈) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴)))
4847ad4ant14 1290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸)) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊𝑈) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴)))
49 prcom 4244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 {𝑈, 𝑋} = {𝑋, 𝑈}
5049eleq1i 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ↔ {𝑋, 𝑈} ∈ 𝐸)
5150biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 → {𝑋, 𝑈} ∈ 𝐸)
5251anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸) → ({𝑋, 𝑈} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸))
5352ancomd 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸) → ({𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, 𝑈} ∈ 𝐸))
5453adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) → ({𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, 𝑈} ∈ 𝐸))
55 prcom 4244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 {𝑊, 𝐴} = {𝐴, 𝑊}
5655eleq1i 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ({𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸 ↔ {𝐴, 𝑊} ∈ 𝐸)
5756biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ({𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸 → {𝐴, 𝑊} ∈ 𝐸)
5857anim2i 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝑊} ∈ 𝐸))
5954, 58anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸)) → (({𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, 𝑈} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝑊} ∈ 𝐸)))
6059adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸)) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → (({𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, 𝑈} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝑊} ∈ 𝐸)))
6114, 44cyclusnfrgr 27054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊𝑈) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑋𝐴)) → ((({𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, 𝑈} ∈ 𝐸) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐴, 𝑊} ∈ 𝐸)) → 𝐺 ∉ FriendGraph ))
6248, 60, 61sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸)) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → 𝐺 ∉ FriendGraph )
63 df-nel 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐺 ∉ FriendGraph ↔ ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
6462, 63sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸)) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → ¬ 𝐺 ∈ FriendGraph )
6564pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸)) ∧ (𝐴𝑋𝑈𝑊)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐴 = 𝑋))
6665ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸)) → ((𝐴𝑋𝑈𝑊) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐴 = 𝑋)))
6766com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)))) ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝐴𝑋𝑈𝑊) → 𝐴 = 𝑋)))
6867exp41 637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐺 ∈ USGraph → (((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝐴𝑋𝑈𝑊) → 𝐴 = 𝑋))))))
6968com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ FriendGraph → (({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → (((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝐴𝑋𝑈𝑊) → 𝐴 = 𝑋))))))
701, 69mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐺 ∈ FriendGraph → (({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → (((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝐴𝑋𝑈𝑊) → 𝐴 = 𝑋)))))
7170com15 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴𝑋𝑈𝑊) → (({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → (((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐴 = 𝑋)))))
7271ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴𝑋 → (𝑈𝑊 → (({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → (((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐴 = 𝑋))))))
7327, 72pm2.61ine 2873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑈𝑊 → (({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → (((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐴 = 𝑋)))))
7473imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈𝑊 ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → (((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐴 = 𝑋))))
7574com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → ((𝑈𝑊 ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐴 = 𝑋))))
7675ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → ((𝑈𝑊 ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐴 = 𝑋)))))
7776com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → ((𝑈𝑊 ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) → ((𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐴 = 𝑋)))))
7877ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → ((𝑈𝑊 ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) → ((𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐴 = 𝑋))))))
79 nbgrcl 26154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑈 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
8079, 2eleq2s 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈𝐷𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
8180adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈𝐷𝑊𝐷) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
8281adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
8378, 82syl11 33 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → ((𝑈𝑊 ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) → ((𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐴 = 𝑋))))))
8483com34 91 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑈𝑊 ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) → ((𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐴 = 𝑋))))))
8584impd 447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) → (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑈𝑊 ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) → ((𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐴 = 𝑋)))))
8685adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑈𝑊 ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) → ((𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐴 = 𝑋)))))
8724, 86mpcom 38 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) ∧ ({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑈𝑊 ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) → ((𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐴 = 𝑋))))
8887ex 450 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑈𝑊 ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) → ((𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝐴 = 𝑋)))))
8988com25 99 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) → ((𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑈𝑊 ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → 𝐴 = 𝑋)))))
9089com14 96 . . . . . . . 8 ((𝑈𝑊 ∧ ({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸)) → ((𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → 𝐴 = 𝑋)))))
9190ex 450 . . . . . . 7 (𝑈𝑊 → (({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸) → ((𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → 𝐴 = 𝑋))))))
9291com15 101 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) → (({𝑈, 𝑋} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝑋} ∈ 𝐸) → ((𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑈𝑊 → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → 𝐴 = 𝑋))))))
9313, 22, 92mp2d 49 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷)) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑈𝑊 → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → 𝐴 = 𝑋))))
9493ex 450 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph → ((𝑈𝐷𝑊𝐷) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑈𝑊 → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → 𝐴 = 𝑋)))))
9594com23 86 . . 3 (𝐺 ∈ USGraph → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑈𝐷𝑊𝐷) → (𝑈𝑊 → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → 𝐴 = 𝑋)))))
961, 95mpcom 38 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑈𝐷𝑊𝐷) → (𝑈𝑊 → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → 𝐴 = 𝑋))))
97963imp 1254 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑈𝐷𝑊𝐷) ∧ 𝑈𝑊) → (({𝑈, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝑊, 𝐴} ∈ 𝐸) → 𝐴 = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wnel 2893  {cpr 4157  cfv 5857  (class class class)co 6615  Vtxcvtx 25808  Edgcedg 25873   USGraph cusgr 25971   NeighbVtx cnbgr 26145   FriendGraph cfrgr 27020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285  df-hash 13074  df-edg 25874  df-upgr 25907  df-umgr 25908  df-usgr 25973  df-nbgr 26149  df-frgr 27021
This theorem is referenced by:  frgrncvvdeqlemB  27069
  Copyright terms: Public domain W3C validator