Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpupval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpupval 18408
 Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n 𝑁 = (invg𝐻)
frgpup.t 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
frgpup.h (𝜑𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i (𝜑𝐼𝑉)
frgpup.a (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
frgpup.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
frgpup.r = ( ~FG𝐼)
frgpup.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
Assertion
Ref Expression
frgpupval ((𝜑𝐴𝑊) → (𝐸‘[𝐴] ) = (𝐻 Σg (𝑇𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧,𝐴   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpupval
StepHypRef Expression
1 frgpup.e . 2 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
2 ovexd 6845 . 2 ((𝜑𝑔𝑊) → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) ∈ V)
3 frgpup.w . . . 4 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
4 frgpup.r . . . 4 = ( ~FG𝐼)
53, 4efger 18352 . . 3 Er 𝑊
65a1i 11 . 2 (𝜑 Er 𝑊)
7 fvex 6364 . . . 4 ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ∈ V
83, 7eqeltri 2836 . . 3 𝑊 ∈ V
98a1i 11 . 2 (𝜑𝑊 ∈ V)
10 coeq2 5437 . . 3 (𝑔 = 𝐴 → (𝑇𝑔) = (𝑇𝐴))
1110oveq2d 6831 . 2 (𝑔 = 𝐴 → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇𝐴)))
12 frgpup.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐻)
13 frgpup.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐻)
14 frgpup.t . . . 4 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
15 frgpup.h . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
16 frgpup.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
17 frgpup.a . . . 4 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
18 frgpup.g . . . 4 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
19 frgpup.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
2012, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 4, 18, 19, 1frgpupf 18407 . . 3 (𝜑𝐸:𝑋𝐵)
21 ffun 6210 . . 3 (𝐸:𝑋𝐵 → Fun 𝐸)
2220, 21syl 17 . 2 (𝜑 → Fun 𝐸)
231, 2, 6, 9, 11, 22qliftval 8006 1 ((𝜑𝐴𝑊) → (𝐸‘[𝐴] ) = (𝐻 Σg (𝑇𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  Vcvv 3341  ∅c0 4059  ifcif 4231  ⟨cop 4328   ↦ cmpt 4882   I cid 5174   × cxp 5265  ran crn 5268   ∘ ccom 5271  Fun wfun 6044  ⟶wf 6046  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815   ↦ cmpt2 6817  2𝑜c2o 7725   Er wer 7911  [cec 7912  Word cword 13498  Basecbs 16080   Σg cgsu 16324  Grpcgrp 17644  invgcminusg 17645   ~FG cefg 18340  freeGrpcfrgp 18341 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-ot 4331  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-er 7914  df-ec 7916  df-qs 7920  df-map 8028  df-pm 8029  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-inf 8517  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-hash 13333  df-word 13506  df-concat 13508  df-s1 13509  df-substr 13510  df-splice 13511  df-s2 13814  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-imas 16391  df-qus 16392  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-submnd 17558  df-frmd 17608  df-grp 17647  df-minusg 17648  df-efg 18343  df-frgp 18344 This theorem is referenced by:  frgpup1  18409  frgpup2  18410  frgpup3lem  18411
 Copyright terms: Public domain W3C validator