Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpupf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpupf 18386
 Description: Any assignment of the generators to target elements can be extended (uniquely) to a homomorphism from a free monoid to an arbitrary other monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpup.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
frgpup.n 𝑁 = (invg𝐻)
frgpup.t 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
frgpup.h (𝜑𝐻 ∈ Grp)
frgpup.i (𝜑𝐼𝑉)
frgpup.a (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
frgpup.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
frgpup.r = ( ~FG𝐼)
frgpup.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpup.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
frgpup.e 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
Assertion
Ref Expression
frgpupf (𝜑𝐸:𝑋𝐵)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑔,𝑧   𝑔,𝐻   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝐵,𝑔,𝑦,𝑧   𝑇,𝑔   ,𝑔   𝜑,𝑔,𝑦,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑔,𝑊
Allowed substitution hints:   (𝑦,𝑧)   𝑇(𝑦,𝑧)   𝐸(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐹(𝑔)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑔)   𝐻(𝑦,𝑧)   𝐼(𝑔)   𝑁(𝑔)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑔)   𝑊(𝑦,𝑧)   𝑋(𝑦,𝑧,𝑔)

Proof of Theorem frgpupf
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpup.e . . . 4 𝐸 = ran (𝑔𝑊 ↦ ⟨[𝑔] , (𝐻 Σg (𝑇𝑔))⟩)
2 frgpup.h . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ Grp)
3 grpmnd 17630 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ Grp → 𝐻 ∈ Mnd)
42, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ Mnd)
54adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑊) → 𝐻 ∈ Mnd)
6 frgpup.w . . . . . . . 8 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
7 fviss 6418 . . . . . . . 8 ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
86, 7eqsstri 3776 . . . . . . 7 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
98sseli 3740 . . . . . 6 (𝑔𝑊𝑔 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
10 frgpup.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐻)
11 frgpup.n . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝐻)
12 frgpup.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ if(𝑧 = ∅, (𝐹𝑦), (𝑁‘(𝐹𝑦))))
13 frgpup.i . . . . . . 7 (𝜑𝐼𝑉)
14 frgpup.a . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐼𝐵)
1510, 11, 12, 2, 13, 14frgpuptf 18383 . . . . . 6 (𝜑𝑇:(𝐼 × 2𝑜)⟶𝐵)
16 wrdco 13777 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑇:(𝐼 × 2𝑜)⟶𝐵) → (𝑇𝑔) ∈ Word 𝐵)
179, 15, 16syl2anr 496 . . . . 5 ((𝜑𝑔𝑊) → (𝑇𝑔) ∈ Word 𝐵)
1810gsumwcl 17578 . . . . 5 ((𝐻 ∈ Mnd ∧ (𝑇𝑔) ∈ Word 𝐵) → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) ∈ 𝐵)
195, 17, 18syl2anc 696 . . . 4 ((𝜑𝑔𝑊) → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) ∈ 𝐵)
20 frgpup.r . . . . . 6 = ( ~FG𝐼)
216, 20efger 18331 . . . . 5 Er 𝑊
2221a1i 11 . . . 4 (𝜑 Er 𝑊)
23 fvex 6362 . . . . . 6 ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ∈ V
246, 23eqeltri 2835 . . . . 5 𝑊 ∈ V
2524a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ V)
26 coeq2 5436 . . . . 5 (𝑔 = → (𝑇𝑔) = (𝑇))
2726oveq2d 6829 . . . 4 (𝑔 = → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇)))
2810, 11, 12, 2, 13, 14, 6, 20frgpuplem 18385 . . . 4 ((𝜑𝑔 ) → (𝐻 Σg (𝑇𝑔)) = (𝐻 Σg (𝑇)))
291, 19, 22, 25, 27, 28qliftfund 8000 . . 3 (𝜑 → Fun 𝐸)
301, 19, 22, 25qliftf 8002 . . 3 (𝜑 → (Fun 𝐸𝐸:(𝑊 / )⟶𝐵))
3129, 30mpbid 222 . 2 (𝜑𝐸:(𝑊 / )⟶𝐵)
32 frgpup.g . . . . . . 7 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
33 eqid 2760 . . . . . . 7 (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))
3432, 33, 20frgpval 18371 . . . . . 6 (𝐼𝑉𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) /s ))
3513, 34syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) /s ))
36 2on 7737 . . . . . . . . 9 2𝑜 ∈ On
37 xpexg 7125 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉 ∧ 2𝑜 ∈ On) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
3813, 36, 37sylancl 697 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
39 wrdexg 13501 . . . . . . . 8 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
40 fvi 6417 . . . . . . . 8 (Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
4138, 39, 403syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
426, 41syl5eq 2806 . . . . . 6 (𝜑𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜))
43 eqid 2760 . . . . . . . 8 (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))
4433, 43frmdbas 17590 . . . . . . 7 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = Word (𝐼 × 2𝑜))
4538, 44syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = Word (𝐼 × 2𝑜))
4642, 45eqtr4d 2797 . . . . 5 (𝜑𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
47 fvex 6362 . . . . . . 7 ( ~FG𝐼) ∈ V
4820, 47eqeltri 2835 . . . . . 6 ∈ V
4948a1i 11 . . . . 5 (𝜑 ∈ V)
50 fvexd 6364 . . . . 5 (𝜑 → (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) ∈ V)
5135, 46, 49, 50qusbas 16407 . . . 4 (𝜑 → (𝑊 / ) = (Base‘𝐺))
52 frgpup.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
5351, 52syl6reqr 2813 . . 3 (𝜑𝑋 = (𝑊 / ))
5453feq2d 6192 . 2 (𝜑 → (𝐸:𝑋𝐵𝐸:(𝑊 / )⟶𝐵))
5531, 54mpbird 247 1 (𝜑𝐸:𝑋𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340  ∅c0 4058  ifcif 4230  ⟨cop 4327   ↦ cmpt 4881   I cid 5173   × cxp 5264  ran crn 5267   ∘ ccom 5270  Oncon0 5884  Fun wfun 6043  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ↦ cmpt2 6815  2𝑜c2o 7723   Er wer 7908  [cec 7909   / cqs 7910  Word cword 13477  Basecbs 16059   Σg cgsu 16303   /s cqus 16367  Mndcmnd 17495  freeMndcfrmd 17585  Grpcgrp 17623  invgcminusg 17624   ~FG cefg 18319  freeGrpcfrgp 18320 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-ot 4330  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-ec 7913  df-qs 7917  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-hash 13312  df-word 13485  df-concat 13487  df-s1 13488  df-substr 13489  df-splice 13490  df-s2 13793  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-imas 16370  df-qus 16371  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-frmd 17587  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-efg 18322  df-frgp 18323 This theorem is referenced by:  frgpupval  18387  frgpup1  18388
 Copyright terms: Public domain W3C validator