MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpnabllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpnabllem2 18484
Description: Lemma for frgpnabl 18485. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpnabl.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpnabl.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
frgpnabl.r = ( ~FG𝐼)
frgpnabl.p + = (+g𝐺)
frgpnabl.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
frgpnabl.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
frgpnabl.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
frgpnabl.u 𝑈 = (varFGrp𝐼)
frgpnabl.i (𝜑𝐼 ∈ V)
frgpnabl.a (𝜑𝐴𝐼)
frgpnabl.b (𝜑𝐵𝐼)
frgpnabl.n (𝜑 → ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) = ((𝑈𝐵) + (𝑈𝐴)))
Assertion
Ref Expression
frgpnabllem2 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑣,𝑛,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝜑,𝑥   𝑥, ,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵   𝑛,𝑊,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺   𝑛,𝑀,𝑣,𝑤,𝑥   𝑥,𝑇
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   + (𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐺(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝑀(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem frgpnabllem2
Dummy variables 𝑑 𝑚 𝑡 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpnabl.a . 2 (𝜑𝐴𝐼)
2 0ex 4924 . . 3 ∅ ∈ V
32a1i 11 . 2 (𝜑 → ∅ ∈ V)
4 frgpnabl.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
5 difss 3888 . . . . . . . 8 (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥)) ⊆ 𝑊
64, 5eqsstri 3784 . . . . . . 7 𝐷𝑊
7 inss1 3981 . . . . . . . 8 (𝐷 ∩ ((𝑈𝐵) + (𝑈𝐴))) ⊆ 𝐷
8 frgpnabl.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
9 frgpnabl.w . . . . . . . . 9 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
10 frgpnabl.r . . . . . . . . 9 = ( ~FG𝐼)
11 frgpnabl.p . . . . . . . . 9 + = (+g𝐺)
12 frgpnabl.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
13 frgpnabl.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
14 frgpnabl.u . . . . . . . . 9 𝑈 = (varFGrp𝐼)
15 frgpnabl.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ V)
16 frgpnabl.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝐼)
178, 9, 10, 11, 12, 13, 4, 14, 15, 16, 1frgpnabllem1 18483 . . . . . . . 8 (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ (𝐷 ∩ ((𝑈𝐵) + (𝑈𝐴))))
187, 17sseldi 3750 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷)
196, 18sseldi 3750 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊)
20 eqid 2771 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1))) = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
219, 10, 12, 13, 4, 20efgredeu 18372 . . . . . 6 (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊 → ∃!𝑑𝐷 𝑑 ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
22 reurmo 3310 . . . . . 6 (∃!𝑑𝐷 𝑑 ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ → ∃*𝑑𝐷 𝑑 ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
2319, 21, 223syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ∃*𝑑𝐷 𝑑 ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
24 inss1 3981 . . . . . 6 (𝐷 ∩ ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵))) ⊆ 𝐷
258, 9, 10, 11, 12, 13, 4, 14, 15, 1, 16frgpnabllem1 18483 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ (𝐷 ∩ ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵))))
2624, 25sseldi 3750 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷)
279, 10efger 18338 . . . . . . . . 9 Er 𝑊
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 Er 𝑊)
298frgpgrp 18382 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ V → 𝐺 ∈ Grp)
3015, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
31 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3210, 14, 8, 31vrgpf 18388 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ V → 𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺))
3315, 32syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈:𝐼⟶(Base‘𝐺))
3433, 1ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
3533, 16ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈𝐵) ∈ (Base‘𝐺))
3631, 11grpcl 17638 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑈𝐴) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑈𝐵) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) ∈ (Base‘𝐺))
3730, 34, 35, 36syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) ∈ (Base‘𝐺))
38 eqid 2771 . . . . . . . . . . . 12 (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))
398, 38, 10frgpval 18378 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ V → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) /s ))
4015, 39syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) /s ))
41 2on 7722 . . . . . . . . . . . . . 14 2𝑜 ∈ On
42 xpexg 7107 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ V ∧ 2𝑜 ∈ On) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
4315, 41, 42sylancl 574 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
44 wrdexg 13511 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
45 fvi 6397 . . . . . . . . . . . . 13 (Word (𝐼 × 2𝑜) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
4643, 44, 453syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) = Word (𝐼 × 2𝑜))
479, 46syl5eq 2817 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜))
48 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))
4938, 48frmdbas 17597 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = Word (𝐼 × 2𝑜))
5043, 49syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = Word (𝐼 × 2𝑜))
5147, 50eqtr4d 2808 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
52 fvex 6342 . . . . . . . . . . . 12 ( ~FG𝐼) ∈ V
5310, 52eqeltri 2846 . . . . . . . . . . 11 ∈ V
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 ∈ V)
55 fvexd 6344 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) ∈ V)
5640, 51, 54, 55qusbas 16413 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊 / ) = (Base‘𝐺))
5737, 56eleqtrrd 2853 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) ∈ (𝑊 / ))
58 inss2 3982 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∩ ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵))) ⊆ ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵))
5958, 25sseldi 3750 . . . . . . . 8 (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)))
60 qsel 7978 . . . . . . . 8 (( Er 𝑊 ∧ ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) ∈ (𝑊 / ) ∧ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵))) → ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] )
6128, 57, 59, 60syl3anc 1476 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) = [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] )
62 inss2 3982 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∩ ((𝑈𝐵) + (𝑈𝐴))) ⊆ ((𝑈𝐵) + (𝑈𝐴))
6362, 17sseldi 3750 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈𝐵) + (𝑈𝐴)))
64 frgpnabl.n . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) = ((𝑈𝐵) + (𝑈𝐴)))
6563, 64eleqtrrd 2853 . . . . . . . 8 (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)))
66 qsel 7978 . . . . . . . 8 (( Er 𝑊 ∧ ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) ∈ (𝑊 / ) ∧ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵))) → ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] )
6728, 57, 65, 66syl3anc 1476 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑈𝐴) + (𝑈𝐵)) = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] )
6861, 67eqtr3d 2807 . . . . . 6 (𝜑 → [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] )
696, 26sseldi 3750 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ 𝑊)
7028, 69erth 7943 . . . . . 6 (𝜑 → (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ↔ [⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩] = [⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩] ))
7168, 70mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
7228, 19erref 7916 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
73 breq1 4789 . . . . . 6 (𝑑 = ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ → (𝑑 ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ↔ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩))
74 breq1 4789 . . . . . 6 (𝑑 = ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ → (𝑑 ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ↔ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩))
7573, 74rmoi 3679 . . . . 5 ((∃*𝑑𝐷 𝑑 ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∧ (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷 ∧ ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩) ∧ (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ∈ 𝐷 ∧ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩ ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)) → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
7623, 26, 71, 18, 72, 75syl122anc 1485 . . . 4 (𝜑 → ⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩ = ⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩)
7776fveq1d 6334 . . 3 (𝜑 → (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩‘0) = (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩‘0))
78 opex 5060 . . . 4 𝐴, ∅⟩ ∈ V
79 s2fv0 13841 . . . 4 (⟨𝐴, ∅⟩ ∈ V → (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐴, ∅⟩)
8078, 79ax-mp 5 . . 3 (⟨“⟨𝐴, ∅⟩⟨𝐵, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐴, ∅⟩
81 opex 5060 . . . 4 𝐵, ∅⟩ ∈ V
82 s2fv0 13841 . . . 4 (⟨𝐵, ∅⟩ ∈ V → (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐵, ∅⟩)
8381, 82ax-mp 5 . . 3 (⟨“⟨𝐵, ∅⟩⟨𝐴, ∅⟩”⟩‘0) = ⟨𝐵, ∅⟩
8477, 80, 833eqtr3g 2828 . 2 (𝜑 → ⟨𝐴, ∅⟩ = ⟨𝐵, ∅⟩)
85 opthg 5073 . . 3 ((𝐴𝐼 ∧ ∅ ∈ V) → (⟨𝐴, ∅⟩ = ⟨𝐵, ∅⟩ ↔ (𝐴 = 𝐵 ∧ ∅ = ∅)))
8685simprbda 486 . 2 (((𝐴𝐼 ∧ ∅ ∈ V) ∧ ⟨𝐴, ∅⟩ = ⟨𝐵, ∅⟩) → 𝐴 = 𝐵)
871, 3, 84, 86syl21anc 1475 1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  ∃!wreu 3063  ∃*wrmo 3064  {crab 3065  Vcvv 3351  cdif 3720  cin 3722  c0 4063  {csn 4316  cop 4322  cotp 4324   ciun 4654   class class class wbr 4786  cmpt 4863   I cid 5156   × cxp 5247  ran crn 5250  Oncon0 5866  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cmpt2 6795  1𝑜c1o 7706  2𝑜c2o 7707   Er wer 7893  [cec 7894   / cqs 7895  0cc0 10138  1c1 10139  cmin 10468  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  chash 13321  Word cword 13487   splice csplice 13492  ⟨“cs2 13795  Basecbs 16064  +gcplusg 16149   /s cqus 16373  freeMndcfrmd 17592  Grpcgrp 17630   ~FG cefg 18326  freeGrpcfrgp 18327  varFGrpcvrgp 18328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-ot 4325  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-ec 7898  df-qs 7902  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-lsw 13496  df-concat 13497  df-s1 13498  df-substr 13499  df-splice 13500  df-reverse 13501  df-s2 13802  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-0g 16310  df-imas 16376  df-qus 16377  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-frmd 17594  df-grp 17633  df-efg 18329  df-frgp 18330  df-vrgp 18331
This theorem is referenced by:  frgpnabl  18485
  Copyright terms: Public domain W3C validator