Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpinv 18384
 Description: The inverse of an element of the free group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpadd.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
frgpinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
frgpinv.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
Assertion
Ref Expression
frgpinv (𝐴𝑊 → (𝑁‘[𝐴] ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] )
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐼   𝑦, ,𝑧   𝑦,𝑊,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧)   𝐺(𝑦,𝑧)   𝑀(𝑦,𝑧)   𝑁(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem frgpinv
Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgpadd.w . . . . . . . . 9 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
2 fviss 6398 . . . . . . . . 9 ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜)) ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
31, 2eqsstri 3784 . . . . . . . 8 𝑊 ⊆ Word (𝐼 × 2𝑜)
43sseli 3748 . . . . . . 7 (𝐴𝑊𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
5 revcl 13719 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝐴𝑊 → (reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
7 frgpinv.m . . . . . . 7 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
87efgmf 18333 . . . . . 6 𝑀:(𝐼 × 2𝑜)⟶(𝐼 × 2𝑜)
9 wrdco 13786 . . . . . 6 (((reverse‘𝐴) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑀:(𝐼 × 2𝑜)⟶(𝐼 × 2𝑜)) → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
106, 8, 9sylancl 574 . . . . 5 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
111efgrcl 18335 . . . . . 6 (𝐴𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜)))
1211simprd 483 . . . . 5 (𝐴𝑊𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜))
1310, 12eleqtrrd 2853 . . . 4 (𝐴𝑊 → (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊)
14 frgpadd.g . . . . 5 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
15 frgpadd.r . . . . 5 = ( ~FG𝐼)
16 eqid 2771 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
171, 14, 15, 16frgpadd 18383 . . . 4 ((𝐴𝑊 ∧ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊) → ([𝐴] (+g𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ) = [(𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))] )
1813, 17mpdan 667 . . 3 (𝐴𝑊 → ([𝐴] (+g𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ) = [(𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))] )
191, 15efger 18338 . . . . 5 Er 𝑊
2019a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑊 Er 𝑊)
21 eqid 2771 . . . . 5 (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩))) = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
221, 15, 7, 21efginvrel2 18347 . . . 4 (𝐴𝑊 → (𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))) ∅)
2320, 22erthi 7945 . . 3 (𝐴𝑊 → [(𝐴 ++ (𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)))] = [∅] )
2414, 15frgp0 18380 . . . . . 6 (𝐼 ∈ V → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] = (0g𝐺)))
2524adantr 466 . . . . 5 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜)) → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] = (0g𝐺)))
2611, 25syl 17 . . . 4 (𝐴𝑊 → (𝐺 ∈ Grp ∧ [∅] = (0g𝐺)))
2726simprd 483 . . 3 (𝐴𝑊 → [∅] = (0g𝐺))
2818, 23, 273eqtrd 2809 . 2 (𝐴𝑊 → ([𝐴] (+g𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ) = (0g𝐺))
2926simpld 482 . . 3 (𝐴𝑊𝐺 ∈ Grp)
30 eqid 2771 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3114, 15, 1, 30frgpeccl 18381 . . 3 (𝐴𝑊 → [𝐴] ∈ (Base‘𝐺))
3214, 15, 1, 30frgpeccl 18381 . . . 4 ((𝑀 ∘ (reverse‘𝐴)) ∈ 𝑊 → [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∈ (Base‘𝐺))
3313, 32syl 17 . . 3 (𝐴𝑊 → [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∈ (Base‘𝐺))
34 eqid 2771 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
35 frgpinv.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
3630, 16, 34, 35grpinvid1 17678 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ [𝐴] ∈ (Base‘𝐺) ∧ [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑁‘[𝐴] ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ↔ ([𝐴] (+g𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ) = (0g𝐺)))
3729, 31, 33, 36syl3anc 1476 . 2 (𝐴𝑊 → ((𝑁‘[𝐴] ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ↔ ([𝐴] (+g𝐺)[(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] ) = (0g𝐺)))
3828, 37mpbird 247 1 (𝐴𝑊 → (𝑁‘[𝐴] ) = [(𝑀 ∘ (reverse‘𝐴))] )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351   ∖ cdif 3720  ∅c0 4063  ⟨cop 4322  ⟨cotp 4324   ↦ cmpt 4863   I cid 5156   × cxp 5247   ∘ ccom 5253  ⟶wf 6027  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ↦ cmpt2 6795  1𝑜c1o 7706  2𝑜c2o 7707   Er wer 7893  [cec 7894  0cc0 10138  ...cfz 12533  ♯chash 13321  Word cword 13487   ++ cconcat 13489   splice csplice 13492  reversecreverse 13493  ⟨“cs2 13795  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308  Grpcgrp 17630  invgcminusg 17631   ~FG cefg 18326  freeGrpcfrgp 18327 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-ot 4325  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-ec 7898  df-qs 7902  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-lsw 13496  df-concat 13497  df-s1 13498  df-substr 13499  df-splice 13500  df-reverse 13501  df-s2 13802  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-0g 16310  df-imas 16376  df-qus 16377  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-frmd 17594  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-efg 18329  df-frgp 18330 This theorem is referenced by:  vrgpinv  18389
 Copyright terms: Public domain W3C validator