MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgpadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgpadd 18382
Description: Addition in the free group is given by concatenation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
frgpadd.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
frgpadd.g 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
frgpadd.r = ( ~FG𝐼)
frgpadd.n + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgpadd ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → ([𝐴] + [𝐵] ) = [(𝐴 ++ 𝐵)] )

Proof of Theorem frgpadd
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 468 . . 3 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐴𝑊)
2 simpr 471 . . 3 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐵𝑊)
3 frgpadd.w . . . . . . . 8 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
43efgrcl 18334 . . . . . . 7 (𝐴𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜)))
54adantr 466 . . . . . 6 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜)))
65simpld 476 . . . . 5 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐼 ∈ V)
7 frgpadd.g . . . . . 6 𝐺 = (freeGrp‘𝐼)
8 eqid 2770 . . . . . 6 (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) = (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))
9 frgpadd.r . . . . . 6 = ( ~FG𝐼)
107, 8, 9frgpval 18377 . . . . 5 (𝐼 ∈ V → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) /s ))
116, 10syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐺 = ((freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) /s ))
125simprd 477 . . . . 5 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜))
13 2on 7721 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ On
14 xpexg 7106 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ V ∧ 2𝑜 ∈ On) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
156, 13, 14sylancl 566 . . . . . 6 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → (𝐼 × 2𝑜) ∈ V)
16 eqid 2770 . . . . . . 7 (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))
178, 16frmdbas 17596 . . . . . 6 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = Word (𝐼 × 2𝑜))
1815, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = Word (𝐼 × 2𝑜))
1912, 18eqtr4d 2807 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
203, 9efger 18337 . . . . 5 Er 𝑊
2120a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → Er 𝑊)
228frmdmnd 17603 . . . . 5 ((𝐼 × 2𝑜) ∈ V → (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) ∈ Mnd)
2315, 22syl 17 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) ∈ Mnd)
24 eqid 2770 . . . . . 6 (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) = (+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))
257, 8, 9, 24frgpcpbl 18378 . . . . 5 ((𝑎 𝑏𝑐 𝑑) → (𝑎(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝑐) (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝑑))
2625a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → ((𝑎 𝑏𝑐 𝑑) → (𝑎(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝑐) (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝑑)))
2723adantr 466 . . . . . 6 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → (freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) ∈ Mnd)
28 simprl 746 . . . . . . 7 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → 𝑏𝑊)
2919adantr 466 . . . . . . 7 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → 𝑊 = (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
3028, 29eleqtrd 2851 . . . . . 6 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → 𝑏 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
31 simprr 748 . . . . . . 7 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → 𝑑𝑊)
3231, 29eleqtrd 2851 . . . . . 6 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → 𝑑 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
3316, 24mndcl 17508 . . . . . 6 (((freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)) ∈ Mnd ∧ 𝑏 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))) → (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝑑) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
3427, 30, 32, 33syl3anc 1475 . . . . 5 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝑑) ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
3534, 29eleqtrrd 2852 . . . 4 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ (𝑏𝑊𝑑𝑊)) → (𝑏(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝑑) ∈ 𝑊)
36 frgpadd.n . . . 4 + = (+g𝐺)
3711, 19, 21, 23, 26, 35, 24, 36qusaddval 16420 . . 3 (((𝐴𝑊𝐵𝑊) ∧ 𝐴𝑊𝐵𝑊) → ([𝐴] + [𝐵] ) = [(𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝐵)] )
381, 2, 37mpd3an23 1573 . 2 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → ([𝐴] + [𝐵] ) = [(𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝐵)] )
391, 19eleqtrd 2851 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐴 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
402, 19eleqtrd 2851 . . . 4 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → 𝐵 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))))
418, 16, 24frmdadd 17599 . . . 4 ((𝐴 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜))) ∧ 𝐵 ∈ (Base‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))) → (𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝐵) = (𝐴 ++ 𝐵))
4239, 40, 41syl2anc 565 . . 3 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → (𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝐵) = (𝐴 ++ 𝐵))
4342eceq1d 7934 . 2 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → [(𝐴(+g‘(freeMnd‘(𝐼 × 2𝑜)))𝐵)] = [(𝐴 ++ 𝐵)] )
4438, 43eqtrd 2804 1 ((𝐴𝑊𝐵𝑊) → ([𝐴] + [𝐵] ) = [(𝐴 ++ 𝐵)] )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  Vcvv 3349   class class class wbr 4784   I cid 5156   × cxp 5247  Oncon0 5866  cfv 6031  (class class class)co 6792  2𝑜c2o 7706   Er wer 7892  [cec 7893  Word cword 13486   ++ cconcat 13488  Basecbs 16063  +gcplusg 16148   /s cqus 16372  Mndcmnd 17501  freeMndcfrmd 17591   ~FG cefg 18325  freeGrpcfrgp 18326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-ot 4323  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-ec 7897  df-qs 7901  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-hash 13321  df-word 13494  df-concat 13496  df-s1 13497  df-substr 13498  df-splice 13499  df-s2 13801  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-imas 16375  df-qus 16376  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-frmd 17593  df-efg 18328  df-frgp 18329
This theorem is referenced by:  frgpinv  18383  frgpmhm  18384  frgpup1  18394  frgpnabllem1  18482
  Copyright terms: Public domain W3C validator