Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege91 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege91 38774
Description: Every result of an application of a procedure 𝑅 to an object 𝑋 follows that 𝑋 in the 𝑅-sequence. Proposition 91 of [Frege1879] p. 68. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 5-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege91.x 𝑋𝑈
frege91.y 𝑌𝑉
frege91.r 𝑅𝑊
Assertion
Ref Expression
frege91 (𝑋𝑅𝑌𝑋(t+‘𝑅)𝑌)

Proof of Theorem frege91
Dummy variables 𝑓 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frege91.y . . . . 5 𝑌𝑉
21frege63c 38746 . . . 4 ([𝑌 / 𝑎]𝑋𝑅𝑎 → (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → [𝑌 / 𝑎]𝑎𝑓)))
3 sbcbr2g 4845 . . . . . 6 (𝑌𝑉 → ([𝑌 / 𝑎]𝑋𝑅𝑎𝑋𝑅𝑌 / 𝑎𝑎))
4 csbvarg 4148 . . . . . . 7 (𝑌𝑉𝑌 / 𝑎𝑎 = 𝑌)
54breq2d 4799 . . . . . 6 (𝑌𝑉 → (𝑋𝑅𝑌 / 𝑎𝑎𝑋𝑅𝑌))
63, 5bitrd 268 . . . . 5 (𝑌𝑉 → ([𝑌 / 𝑎]𝑋𝑅𝑎𝑋𝑅𝑌))
71, 6ax-mp 5 . . . 4 ([𝑌 / 𝑎]𝑋𝑅𝑎𝑋𝑅𝑌)
8 sbcel1v 3646 . . . . . 6 ([𝑌 / 𝑎]𝑎𝑓𝑌𝑓)
98imbi2i 325 . . . . 5 ((∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → [𝑌 / 𝑎]𝑎𝑓) ↔ (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓))
109imbi2i 325 . . . 4 ((𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → [𝑌 / 𝑎]𝑎𝑓)) ↔ (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓)))
112, 7, 103imtr3i 280 . . 3 (𝑋𝑅𝑌 → (𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓)))
1211alrimiv 2007 . 2 (𝑋𝑅𝑌 → ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓)))
13 frege91.x . . 3 𝑋𝑈
14 frege91.r . . 3 𝑅𝑊
1513, 1, 14frege90 38773 . 2 ((𝑋𝑅𝑌 → ∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓))) → (𝑋𝑅𝑌𝑋(t+‘𝑅)𝑌))
1612, 15ax-mp 5 1 (𝑋𝑅𝑌𝑋(t+‘𝑅)𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wal 1629  wcel 2145  [wsbc 3587  csb 3682   class class class wbr 4787  cfv 6030  t+ctcl 13934   hereditary whe 38592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-frege1 38610  ax-frege2 38611  ax-frege8 38629  ax-frege52a 38677  ax-frege58b 38721
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-ifp 1050  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-seq 13009  df-trcl 13936  df-relexp 13969  df-he 38593
This theorem is referenced by:  frege92  38775
  Copyright terms: Public domain W3C validator