Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege77 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege77 38551
Description: If 𝑌 follows 𝑋 in the 𝑅-sequence, if property 𝐴 is hereditary in the 𝑅-sequence, and if every result of an application of the procedure 𝑅 to 𝑋 has the property 𝐴, then 𝑌 has property 𝐴. Proposition 77 of [Frege1879] p. 62. (Contributed by RP, 29-Jun-2020.) (Revised by RP, 2-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege77.x 𝑋𝑈
frege77.y 𝑌𝑉
frege77.r 𝑅𝑊
frege77.a 𝐴𝐵
Assertion
Ref Expression
frege77 (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝐴) → 𝑌𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎   𝑅,𝑎   𝑋,𝑎
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝑉(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑌(𝑎)

Proof of Theorem frege77
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frege77.x . . 3 𝑋𝑈
2 frege77.y . . 3 𝑌𝑉
3 frege77.r . . 3 𝑅𝑊
41, 2, 3dffrege76 38550 . 2 (∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓)) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)
5 frege77.a . . . 4 𝐴𝐵
65frege68c 38542 . . 3 ((∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓)) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑌) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌[𝐴 / 𝑓](𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓))))
7 sbcimg 3510 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑓](𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓)) ↔ ([𝐴 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓[𝐴 / 𝑓](∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓))))
85, 7ax-mp 5 . . . 4 ([𝐴 / 𝑓](𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓)) ↔ ([𝐴 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓[𝐴 / 𝑓](∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓)))
9 sbcheg 38390 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓𝐴 / 𝑓𝑅 hereditary 𝐴 / 𝑓𝑓))
105, 9ax-mp 5 . . . . . 6 ([𝐴 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓𝐴 / 𝑓𝑅 hereditary 𝐴 / 𝑓𝑓)
11 csbconstg 3579 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵𝐴 / 𝑓𝑅 = 𝑅)
125, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐴 / 𝑓𝑅 = 𝑅
13 csbvarg 4036 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵𝐴 / 𝑓𝑓 = 𝐴)
145, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐴 / 𝑓𝑓 = 𝐴
15 heeq12 38387 . . . . . . 7 ((𝐴 / 𝑓𝑅 = 𝑅𝐴 / 𝑓𝑓 = 𝐴) → (𝐴 / 𝑓𝑅 hereditary 𝐴 / 𝑓𝑓𝑅 hereditary 𝐴))
1612, 14, 15mp2an 708 . . . . . 6 (𝐴 / 𝑓𝑅 hereditary 𝐴 / 𝑓𝑓𝑅 hereditary 𝐴)
1710, 16bitri 264 . . . . 5 ([𝐴 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓𝑅 hereditary 𝐴)
18 sbcimg 3510 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑓](∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓) ↔ ([𝐴 / 𝑓]𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → [𝐴 / 𝑓]𝑌𝑓)))
195, 18ax-mp 5 . . . . . 6 ([𝐴 / 𝑓](∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓) ↔ ([𝐴 / 𝑓]𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → [𝐴 / 𝑓]𝑌𝑓))
20 sbcal 3518 . . . . . . . 8 ([𝐴 / 𝑓]𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) ↔ ∀𝑎[𝐴 / 𝑓](𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓))
21 sbcimg 3510 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑓](𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) ↔ ([𝐴 / 𝑓]𝑋𝑅𝑎[𝐴 / 𝑓]𝑎𝑓)))
225, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ([𝐴 / 𝑓](𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) ↔ ([𝐴 / 𝑓]𝑋𝑅𝑎[𝐴 / 𝑓]𝑎𝑓))
23 sbcg 3536 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑓]𝑋𝑅𝑎𝑋𝑅𝑎))
245, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ([𝐴 / 𝑓]𝑋𝑅𝑎𝑋𝑅𝑎)
25 sbcel2gv 3529 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑓]𝑎𝑓𝑎𝐴))
265, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ([𝐴 / 𝑓]𝑎𝑓𝑎𝐴)
2724, 26imbi12i 339 . . . . . . . . . 10 (([𝐴 / 𝑓]𝑋𝑅𝑎[𝐴 / 𝑓]𝑎𝑓) ↔ (𝑋𝑅𝑎𝑎𝐴))
2822, 27bitri 264 . . . . . . . . 9 ([𝐴 / 𝑓](𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) ↔ (𝑋𝑅𝑎𝑎𝐴))
2928albii 1787 . . . . . . . 8 (∀𝑎[𝐴 / 𝑓](𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) ↔ ∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝐴))
3020, 29bitri 264 . . . . . . 7 ([𝐴 / 𝑓]𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) ↔ ∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝐴))
31 sbcel2gv 3529 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 → ([𝐴 / 𝑓]𝑌𝑓𝑌𝐴))
325, 31ax-mp 5 . . . . . . 7 ([𝐴 / 𝑓]𝑌𝑓𝑌𝐴)
3330, 32imbi12i 339 . . . . . 6 (([𝐴 / 𝑓]𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → [𝐴 / 𝑓]𝑌𝑓) ↔ (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝐴) → 𝑌𝐴))
3419, 33bitri 264 . . . . 5 ([𝐴 / 𝑓](∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓) ↔ (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝐴) → 𝑌𝐴))
3517, 34imbi12i 339 . . . 4 (([𝐴 / 𝑓]𝑅 hereditary 𝑓[𝐴 / 𝑓](∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓)) ↔ (𝑅 hereditary 𝐴 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝐴) → 𝑌𝐴)))
368, 35bitri 264 . . 3 ([𝐴 / 𝑓](𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓)) ↔ (𝑅 hereditary 𝐴 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝐴) → 𝑌𝐴)))
376, 36syl6ib 241 . 2 ((∀𝑓(𝑅 hereditary 𝑓 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝑓) → 𝑌𝑓)) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑌) → (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝐴) → 𝑌𝐴))))
384, 37ax-mp 5 1 (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑅 hereditary 𝐴 → (∀𝑎(𝑋𝑅𝑎𝑎𝐴) → 𝑌𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wal 1521   = wceq 1523  wcel 2030  [wsbc 3468  csb 3566   class class class wbr 4685  cfv 5926  t+ctcl 13770   hereditary whe 38383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-frege1 38401  ax-frege2 38402  ax-frege8 38420  ax-frege52a 38468  ax-frege58b 38512
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1033  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-trcl 13772  df-relexp 13805  df-he 38384
This theorem is referenced by:  frege78  38552  frege85  38559
  Copyright terms: Public domain W3C validator