Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege129d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege129d 38372
Description: If 𝐹 is a function and (for distinct 𝐴 and 𝐵) either 𝐴 follows 𝐵 or 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝐹, the successor of 𝐴 is either 𝐵 or it follows 𝐵 or it comes before 𝐵 in the transitive closure of 𝐹. Similar to Proposition 129 of [Frege1879] p. 83. Comparw with frege129 38603. (Contributed by RP, 16-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frege129d.f (𝜑𝐹 ∈ V)
frege129d.a (𝜑𝐴 ∈ dom 𝐹)
frege129d.c (𝜑𝐶 = (𝐹𝐴))
frege129d.or (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐴 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
frege129d.fun (𝜑 → Fun 𝐹)
Assertion
Ref Expression
frege129d (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵))

Proof of Theorem frege129d
StepHypRef Expression
1 frege129d.or . 2 (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐴 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐴))
2 frege129d.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ V)
32adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐹 ∈ V)
4 frege129d.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ dom 𝐹)
54adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐴 ∈ dom 𝐹)
6 frege129d.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 = (𝐹𝐴))
76adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐶 = (𝐹𝐴))
8 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)
9 frege129d.fun . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐹)
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → Fun 𝐹)
113, 5, 7, 8, 10frege126d 38371 . . . . . 6 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → (𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐶 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
12 biid 251 . . . . . . 7 (𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐶(t+‘𝐹)𝐵)
13 eqcom 2658 . . . . . . 7 (𝐶 = 𝐵𝐵 = 𝐶)
14 biid 251 . . . . . . 7 (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵(t+‘𝐹)𝐶)
1512, 13, 143orbi123i 1271 . . . . . 6 ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐶 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐶) ↔ (𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐵 = 𝐶𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
1611, 15sylib 208 . . . . 5 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → (𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐵 = 𝐶𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
17 3orcomb 1065 . . . . . 6 ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐵 = 𝐶𝐵(t+‘𝐹)𝐶) ↔ (𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶))
18 3orrot 1061 . . . . . 6 ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶) ↔ (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
1917, 18sylbb 209 . . . . 5 ((𝐶(t+‘𝐹)𝐵𝐵 = 𝐶𝐵(t+‘𝐹)𝐶) → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
2016, 19syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
2120ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
22 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
236eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 𝐶)
24 funbrfvb 6276 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) = 𝐶𝐴𝐹𝐶))
2524biimpd 219 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) = 𝐶𝐴𝐹𝐶))
269, 4, 25syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) = 𝐶𝐴𝐹𝐶))
2723, 26mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐹𝐶)
282, 27frege91d 38360 . . . . . . 7 (𝜑𝐴(t+‘𝐹)𝐶)
2928adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴(t+‘𝐹)𝐶)
3022, 29eqbrtrrd 4709 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐶)
3130ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
32 3mix1 1250 . . . 4 (𝐵(t+‘𝐹)𝐶 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
3331, 32syl6 35 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
342adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐹 ∈ V)
35 funrel 5943 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
369, 35syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → Rel 𝐹)
37 reltrclfv 13802 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ V ∧ Rel 𝐹) → Rel (t+‘𝐹))
382, 36, 37syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → Rel (t+‘𝐹))
39 brrelex 5190 . . . . . . 7 ((Rel (t+‘𝐹) ∧ 𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵 ∈ V)
4038, 39sylan 487 . . . . . 6 ((𝜑𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵 ∈ V)
41 fvex 6239 . . . . . . . 8 (𝐹𝐴) ∈ V
426, 41syl6eqel 2738 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ V)
4342adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐶 ∈ V)
44 elex 3243 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom 𝐹𝐴 ∈ V)
454, 44syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ V)
4645adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐴 ∈ V)
47 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐴)
4827adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐴𝐹𝐶)
4934, 40, 43, 46, 47, 48frege96d 38358 . . . . 5 ((𝜑𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → 𝐵(t+‘𝐹)𝐶)
5049ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐴𝐵(t+‘𝐹)𝐶))
5150, 32syl6 35 . . 3 (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐴 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
5221, 33, 513jaod 1432 . 2 (𝜑 → ((𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐴 = 𝐵𝐵(t+‘𝐹)𝐴) → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵)))
531, 52mpd 15 1 (𝜑 → (𝐵(t+‘𝐹)𝐶𝐵 = 𝐶𝐶(t+‘𝐹)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3o 1053   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  Rel wrel 5148  Fun wfun 5920  cfv 5926  t+ctcl 13770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-seq 12842  df-trcl 13772  df-relexp 13805
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator