Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege124d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege124d 38572
Description: If 𝐹 is a function, 𝐴 is the successor of 𝑋, and 𝐵 follows 𝑋 in the transitive closure of 𝐹, then 𝐴 and 𝐵 are the same or 𝐵 follows 𝐴 in the transitive closure of 𝐹. Similar to Proposition 124 of [Frege1879] p. 80. Compare with frege124 38800. (Contributed by RP, 16-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frege124d.f (𝜑𝐹 ∈ V)
frege124d.x (𝜑𝑋 ∈ dom 𝐹)
frege124d.a (𝜑𝐴 = (𝐹𝑋))
frege124d.xb (𝜑𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
frege124d.fun (𝜑 → Fun 𝐹)
Assertion
Ref Expression
frege124d (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem frege124d
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frege124d.a . . 3 (𝜑𝐴 = (𝐹𝑋))
2 frege124d.fun . . . . 5 (𝜑 → Fun 𝐹)
3 frege124d.xb . . . . . . 7 (𝜑𝑋(t+‘𝐹)𝐵)
41eqcomd 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑋) = 𝐴)
5 frege124d.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ dom 𝐹)
6 funbrfvb 6379 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝐹𝑋 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑋) = 𝐴𝑋𝐹𝐴))
72, 5, 6syl2anc 565 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐹𝑋) = 𝐴𝑋𝐹𝐴))
84, 7mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝐹𝐴)
9 funeu 6056 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐹𝑋𝐹𝐴) → ∃!𝑎 𝑋𝐹𝑎)
102, 8, 9syl2anc 565 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃!𝑎 𝑋𝐹𝑎)
11 fvex 6342 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹𝑋) ∈ V
121, 11syl6eqel 2857 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ V)
13 sbcan 3628 . . . . . . . . . . . . 13 ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ ([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎[𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
14 sbcbr2g 4842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎𝑋𝐹𝐴 / 𝑎𝑎))
15 csbvarg 4145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ V → 𝐴 / 𝑎𝑎 = 𝐴)
1615breq2d 4796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ V → (𝑋𝐹𝐴 / 𝑎𝑎𝑋𝐹𝐴))
1714, 16bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎𝑋𝐹𝐴))
18 sbcng 3626 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ¬ [𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
19 sbcbr1g 4841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵𝐴 / 𝑎𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
2015breq1d 4794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ V → (𝐴 / 𝑎𝑎(t+‘𝐹)𝐵𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
2119, 20bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
2221notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ V → (¬ [𝐴 / 𝑎]𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
2318, 22bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵 ↔ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵))
2417, 23anbi12d 608 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ V → (([𝐴 / 𝑎]𝑋𝐹𝑎[𝐴 / 𝑎] ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ (𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)))
2513, 24syl5bb 272 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ (𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)))
2612, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ (𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵)))
27 spesbc 3668 . . . . . . . . . . 11 ([𝐴 / 𝑎](𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) → ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
2826, 27syl6bir 244 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋𝐹𝐴 ∧ ¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵) → ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
298, 28mpand 667 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
30 eupicka 2685 . . . . . . . . 9 ((∃!𝑎 𝑋𝐹𝑎 ∧ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎 ∧ ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)) → ∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
3110, 29, 30syl6an 655 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → ∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
32 frege124d.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ V)
33 funrel 6048 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
342, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Rel 𝐹)
35 reltrclfv 13965 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ V ∧ Rel 𝐹) → Rel (t+‘𝐹))
3632, 34, 35syl2anc 565 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Rel (t+‘𝐹))
37 brrelex2 5297 . . . . . . . . . . . 12 ((Rel (t+‘𝐹) ∧ 𝑋(t+‘𝐹)𝐵) → 𝐵 ∈ V)
3836, 3, 37syl2anc 565 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ V)
39 brcog 5427 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ dom 𝐹𝐵 ∈ V) → (𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
405, 38, 39syl2anc 565 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
4140notbid 307 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵 ↔ ¬ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎𝑎(t+‘𝐹)𝐵)))
42 alinexa 1919 . . . . . . . . 9 (∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ ¬ ∃𝑎(𝑋𝐹𝑎𝑎(t+‘𝐹)𝐵))
4341, 42syl6rbbr 279 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑎(𝑋𝐹𝑎 → ¬ 𝑎(t+‘𝐹)𝐵) ↔ ¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵))
4431, 43sylibd 229 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → ¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵))
45 brdif 4837 . . . . . . . 8 (𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵 ↔ (𝑋(t+‘𝐹)𝐵 ∧ ¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵))
4645simplbi2 482 . . . . . . 7 (𝑋(t+‘𝐹)𝐵 → (¬ 𝑋((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)𝐵𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵))
473, 44, 46sylsyld 61 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵))
48 trclfvdecomr 38539 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ V → (t+‘𝐹) = (𝐹 ∪ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)))
4932, 48syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (t+‘𝐹) = (𝐹 ∪ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)))
50 uncom 3906 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∪ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)) = (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹)
5149, 50syl6eq 2820 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (t+‘𝐹) = (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹))
52 eqimss 3804 . . . . . . . . 9 ((t+‘𝐹) = (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹) → (t+‘𝐹) ⊆ (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹))
5351, 52syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (t+‘𝐹) ⊆ (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹))
54 ssundif 4192 . . . . . . . 8 ((t+‘𝐹) ⊆ (((t+‘𝐹) ∘ 𝐹) ∪ 𝐹) ↔ ((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝐹)
5553, 54sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑 → ((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹)) ⊆ 𝐹)
5655ssbrd 4827 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋((t+‘𝐹) ∖ ((t+‘𝐹) ∘ 𝐹))𝐵𝑋𝐹𝐵))
5747, 56syld 47 . . . . 5 (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝑋𝐹𝐵))
58 funbrfv 6375 . . . . 5 (Fun 𝐹 → (𝑋𝐹𝐵 → (𝐹𝑋) = 𝐵))
592, 57, 58sylsyld 61 . . . 4 (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵 → (𝐹𝑋) = 𝐵))
60 eqcom 2777 . . . 4 ((𝐹𝑋) = 𝐵𝐵 = (𝐹𝑋))
6159, 60syl6ib 241 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐵 = (𝐹𝑋)))
62 eqtr3 2791 . . 3 ((𝐴 = (𝐹𝑋) ∧ 𝐵 = (𝐹𝑋)) → 𝐴 = 𝐵)
631, 61, 62syl6an 655 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐴 = 𝐵))
6463orrd 843 1 (𝜑 → (𝐴(t+‘𝐹)𝐵𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 826  wal 1628   = wceq 1630  wex 1851  wcel 2144  ∃!weu 2617  Vcvv 3349  [wsbc 3585  csb 3680  cdif 3718  cun 3719  wss 3721   class class class wbr 4784  dom cdm 5249  ccom 5253  Rel wrel 5254  Fun wfun 6025  cfv 6031  t+ctcl 13933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-seq 13008  df-trcl 13935  df-relexp 13968
This theorem is referenced by:  frege126d  38573
  Copyright terms: Public domain W3C validator