MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fr0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fr0g 7516
Description: The initial value resulting from finite recursive definition generation. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.)
Assertion
Ref Expression
fr0g (𝐴𝐵 → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem fr0g
StepHypRef Expression
1 peano1 7070 . . 3 ∅ ∈ ω
2 fvres 6194 . . 3 (∅ ∈ ω → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) = (rec(𝐹, 𝐴)‘∅))
31, 2ax-mp 5 . 2 ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) = (rec(𝐹, 𝐴)‘∅)
4 rdg0g 7508 . 2 (𝐴𝐵 → (rec(𝐹, 𝐴)‘∅) = 𝐴)
53, 4syl5eq 2666 1 (𝐴𝐵 → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1481  wcel 1988  c0 3907  cres 5106  cfv 5876  ωcom 7050  reccrdg 7490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491
This theorem is referenced by:  unblem2  8198  dffi3  8322  inf0  8503  inf3lemb  8507  trcl  8589  alephfplem1  8912  infpssrlem1  9110  fin23lem34  9153  ituni0  9225  hsmexlem7  9230  axdclem2  9327  wunex2  9545  wuncval2  9554  peano5nni  11008  1nn  11016  om2uz0i  12729  om2uzrdg  12738  uzrdg0i  12741  trpredlem1  31701  trpredpred  31702  trpredmintr  31705  trpred0  31710  trpredrec  31712  neibastop2lem  32330
  Copyright terms: Public domain W3C validator