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Theorem fpwwe2lem13 9648
 Description: Lemma for fpwwe2 9649. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fpwwe2.1 𝑊 = {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑟 ⊆ (𝑥 × 𝑥)) ∧ (𝑟 We 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 [(𝑟 “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(𝑟 ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦))}
fpwwe2.2 (𝜑𝐴 ∈ V)
fpwwe2.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑟 ⊆ (𝑥 × 𝑥) ∧ 𝑟 We 𝑥)) → (𝑥𝐹𝑟) ∈ 𝐴)
fpwwe2.4 𝑋 = dom 𝑊
Assertion
Ref Expression
fpwwe2lem13 (𝜑 → (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑦,𝑢,𝑟,𝑥,𝐹   𝑋,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦   𝜑,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦   𝐴,𝑟,𝑥   𝑊,𝑟,𝑢,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑢)

Proof of Theorem fpwwe2lem13
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssun2 3912 . . . 4 {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
2 fpwwe2.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑊 = {⟨𝑥, 𝑟⟩ ∣ ((𝑥𝐴𝑟 ⊆ (𝑥 × 𝑥)) ∧ (𝑟 We 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 [(𝑟 “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(𝑟 ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦))}
3 fpwwe2.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ V)
43adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ V)
5 fpwwe2.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑟 ⊆ (𝑥 × 𝑥) ∧ 𝑟 We 𝑥)) → (𝑥𝐹𝑟) ∈ 𝐴)
65adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝐴𝑟 ⊆ (𝑥 × 𝑥) ∧ 𝑟 We 𝑥)) → (𝑥𝐹𝑟) ∈ 𝐴)
7 fpwwe2.4 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = dom 𝑊
82, 4, 6, 7fpwwe2lem12 9647 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ dom 𝑊)
92, 4, 6, 7fpwwe2lem11 9646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → 𝑊:dom 𝑊⟶𝒫 (𝑋 × 𝑋))
10 ffun 6201 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊:dom 𝑊⟶𝒫 (𝑋 × 𝑋) → Fun 𝑊)
11 funfvbrb 6485 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun 𝑊 → (𝑋 ∈ dom 𝑊𝑋𝑊(𝑊𝑋)))
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑋 ∈ dom 𝑊𝑋𝑊(𝑊𝑋)))
138, 12mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → 𝑋𝑊(𝑊𝑋))
142, 4fpwwe2lem2 9638 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑋𝑊(𝑊𝑋) ↔ ((𝑋𝐴 ∧ (𝑊𝑋) ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ ((𝑊𝑋) We 𝑋 ∧ ∀𝑦𝑋 [((𝑊𝑋) “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹((𝑊𝑋) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦))))
1513, 14mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ((𝑋𝐴 ∧ (𝑊𝑋) ⊆ (𝑋 × 𝑋)) ∧ ((𝑊𝑋) We 𝑋 ∧ ∀𝑦𝑋 [((𝑊𝑋) “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹((𝑊𝑋) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦)))
1615simpld 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑋𝐴 ∧ (𝑊𝑋) ⊆ (𝑋 × 𝑋)))
1716simpld 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → 𝑋𝐴)
1816simprd 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑊𝑋) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
1915simprd 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ((𝑊𝑋) We 𝑋 ∧ ∀𝑦𝑋 [((𝑊𝑋) “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹((𝑊𝑋) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦))
2019simpld 477 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑊𝑋) We 𝑋)
2117, 18, 203jca 1122 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑋𝐴 ∧ (𝑊𝑋) ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝑊𝑋) We 𝑋))
222, 3, 5fpwwe2lem5 9640 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐴 ∧ (𝑊𝑋) ⊆ (𝑋 × 𝑋) ∧ (𝑊𝑋) We 𝑋)) → (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝐴)
2321, 22syldan 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝐴)
2423snssd 4477 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ⊆ 𝐴)
2517, 24unssd 3924 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ⊆ 𝐴)
26 ssun1 3911 . . . . . . . . . . 11 𝑋 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
27 xpss12 5273 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑋 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (𝑋 × 𝑋) ⊆ ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) × (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})))
2826, 26, 27mp2an 710 . . . . . . . . . 10 (𝑋 × 𝑋) ⊆ ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) × (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
2918, 28syl6ss 3748 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑊𝑋) ⊆ ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) × (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})))
30 xpss12 5273 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ⊆ ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) × (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})))
3126, 1, 30mp2an 710 . . . . . . . . . 10 (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ⊆ ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) × (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ⊆ ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) × (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})))
3329, 32unssd 3924 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ⊆ ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) × (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})))
3425, 33jca 555 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ⊆ 𝐴 ∧ ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ⊆ ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) × (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))))
35 ssdif0 4077 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ↔ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = ∅)
36 simpllr 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋)
3718ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (𝑊𝑋) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
3837ssbrd 4839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)(𝑋𝐹(𝑊𝑋)) → (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × 𝑋)(𝑋𝐹(𝑊𝑋))))
39 brxp 5296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × 𝑋)(𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ↔ ((𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋 ∧ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋))
4039simplbi 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × 𝑋)(𝑋𝐹(𝑊𝑋)) → (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋)
4138, 40syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)(𝑋𝐹(𝑊𝑋)) → (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋))
4236, 41mtod 189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)(𝑋𝐹(𝑊𝑋)))
43 brxp 5296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})(𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ↔ ((𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋 ∧ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
4443simplbi 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})(𝑋𝐹(𝑊𝑋)) → (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋)
4536, 44nsyl 135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})(𝑋𝐹(𝑊𝑋)))
46 ovex 6833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ V
47 breq2 4800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) → ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))(𝑋𝐹(𝑊𝑋))))
48 brun 4847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))(𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ↔ ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)(𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∨ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})(𝑋𝐹(𝑊𝑋))))
4947, 48syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) → ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)(𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∨ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})(𝑋𝐹(𝑊𝑋)))))
5049notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) → (¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ ¬ ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)(𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∨ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})(𝑋𝐹(𝑊𝑋)))))
5146, 50rexsn 4359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ ¬ ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)(𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∨ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})(𝑋𝐹(𝑊𝑋))))
52 ioran 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)(𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∨ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})(𝑋𝐹(𝑊𝑋))) ↔ (¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)(𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})(𝑋𝐹(𝑊𝑋))))
5351, 52bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∃𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ (¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)(𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})(𝑋𝐹(𝑊𝑋))))
5442, 45, 53sylanbrc 701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ∃𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦)
55 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → 𝑥 ≠ ∅)
5655neneqd 2929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ¬ 𝑥 = ∅)
57 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
58 sssn 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ↔ (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
5957, 58sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (𝑥 = ∅ ∨ 𝑥 = {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
6059ord 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (¬ 𝑥 = ∅ → 𝑥 = {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
6156, 60mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → 𝑥 = {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
6261raleqdv 3275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (∀𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
63 breq1 4799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) → (𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
6463notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) → (¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
6546, 64ralsn 4358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑧 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦)
6662, 65syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (∀𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
6761, 66rexeqbidv 3284 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
6854, 67mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ 𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦)
6968ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → (𝑥 ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
7035, 69syl5bir 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ((𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = ∅ → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
71 vex 3335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 ∈ V
72 difexg 4952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∈ V)
7371, 72mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) → (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∈ V)
74 wefr 5248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊𝑋) We 𝑋 → (𝑊𝑋) Fr 𝑋)
7520, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑊𝑋) Fr 𝑋)
7675ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) → (𝑊𝑋) Fr 𝑋)
77 simplrl 819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) → 𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
78 uncom 3892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∪ 𝑋)
7977, 78syl6sseq 3784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) → 𝑥 ⊆ ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∪ 𝑋))
80 ssundif 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ⊆ ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∪ 𝑋) ↔ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ⊆ 𝑋)
8179, 80sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) → (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ⊆ 𝑋)
82 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) → (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅)
83 fri 5220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∈ V ∧ (𝑊𝑋) Fr 𝑋) ∧ ((𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})∀𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ¬ 𝑧(𝑊𝑋)𝑦)
8473, 76, 81, 82, 83syl22anc 1474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})∀𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ¬ 𝑧(𝑊𝑋)𝑦)
85 brun 4847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ (𝑧(𝑊𝑋)𝑦𝑧(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦))
86 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (𝑧(𝑊𝑋)𝑦𝑧(𝑊𝑋)𝑦))
87 brxp 5296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑧(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦 ↔ (𝑧𝑋𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
8887simprbi 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
89 eldifn 3868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ¬ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
9089adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → ¬ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
9190pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} → 𝑧(𝑊𝑋)𝑦))
9288, 91syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (𝑧(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦𝑧(𝑊𝑋)𝑦))
9386, 92jaod 394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → ((𝑧(𝑊𝑋)𝑦𝑧(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦) → 𝑧(𝑊𝑋)𝑦))
9485, 93syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑧(𝑊𝑋)𝑦))
9594con3d 148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (¬ 𝑧(𝑊𝑋)𝑦 → ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
9695ralimdv 3093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (∀𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ¬ 𝑧(𝑊𝑋)𝑦 → ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
97 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋)
9897ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋)
9918ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (𝑊𝑋) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
10099ssbrd 4839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)𝑦 → (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × 𝑋)𝑦))
101 brxp 5296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × 𝑋)𝑦 ↔ ((𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋𝑦𝑋))
102101simplbi 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × 𝑋)𝑦 → (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋)
103100, 102syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)𝑦 → (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋))
10498, 103mtod 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)𝑦)
105 brxp 5296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦 ↔ ((𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
106105simprbi 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
10790, 106nsyl 135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦)
108 brun 4847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)𝑦 ∨ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦))
10963, 108syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 = (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) → (𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)𝑦 ∨ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦)))
110109notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 = (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) → (¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ ¬ ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)𝑦 ∨ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦)))
11146, 110ralsn 4358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∀𝑧 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ ¬ ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)𝑦 ∨ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦))
112 ioran 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (¬ ((𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)𝑦 ∨ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦) ↔ (¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)𝑦 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦))
113111, 112bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑧 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ↔ (¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑊𝑋)𝑦 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋))(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦))
114104, 107, 113sylanbrc 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → ∀𝑧 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦)
11596, 114jctird 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (∀𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ¬ 𝑧(𝑊𝑋)𝑦 → (∀𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦)))
116 ssun1 3911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
117 undif1 4179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = (𝑥 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
118116, 117sseqtr4i 3771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 ⊆ ((𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
119 ralun 3930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((∀𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦) → ∀𝑧 ∈ ((𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦)
120 ssralv 3799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ⊆ ((𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (∀𝑧 ∈ ((𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 → ∀𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
121118, 119, 120mpsyl 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦) → ∀𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦)
122115, 121syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (∀𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ¬ 𝑧(𝑊𝑋)𝑦 → ∀𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
123 eldifi 3867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → 𝑦𝑥)
124123adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → 𝑦𝑥)
125122, 124jctild 567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (∀𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ¬ 𝑧(𝑊𝑋)𝑦 → (𝑦𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦)))
126125expimpd 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) → ((𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ¬ 𝑧(𝑊𝑋)𝑦) → (𝑦𝑥 ∧ ∀𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦)))
127126reximdv2 3144 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) → (∃𝑦 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})∀𝑧 ∈ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ¬ 𝑧(𝑊𝑋)𝑦 → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
12884, 127mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) ∧ (𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦)
129128ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ((𝑥 ∖ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ≠ ∅ → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
13070, 129pm2.61dne 3010 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅)) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦)
131130ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ((𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
132131alrimiv 1996 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ∀𝑥((𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
133 df-fr 5217 . . . . . . . . . 10 (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) Fr (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥𝑧𝑥 ¬ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
134132, 133sylibr 224 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) Fr (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
135 elun 3888 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ↔ (𝑥𝑋𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
136 elun 3888 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ↔ (𝑦𝑋𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
137135, 136anbi12i 735 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ↔ ((𝑥𝑋𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ (𝑦𝑋𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})))
138 weso 5249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊𝑋) We 𝑋 → (𝑊𝑋) Or 𝑋)
13920, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑊𝑋) Or 𝑋)
140 solin 5202 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊𝑋) Or 𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(𝑊𝑋)𝑦𝑥 = 𝑦𝑦(𝑊𝑋)𝑥))
141139, 140sylan 489 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(𝑊𝑋)𝑦𝑥 = 𝑦𝑦(𝑊𝑋)𝑥))
142 ssun1 3911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊𝑋) ⊆ ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑊𝑋) ⊆ ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})))
144143ssbrd 4839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(𝑊𝑋)𝑦𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
145 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦))
146143ssbrd 4839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑦(𝑊𝑋)𝑥𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥))
147144, 145, 1463orim123d 1548 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥(𝑊𝑋)𝑦𝑥 = 𝑦𝑦(𝑊𝑋)𝑥) → (𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥)))
148141, 147mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥))
149148ex 449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ((𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥)))
150 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∧ 𝑦𝑋)) → (𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∧ 𝑦𝑋))
151150ancomd 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∧ 𝑦𝑋)) → (𝑦𝑋𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
152 brxp 5296 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑥 ↔ (𝑦𝑋𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
153151, 152sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∧ 𝑦𝑋)) → 𝑦(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑥)
154 ssun2 3912 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ⊆ ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
155154ssbri 4841 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑥𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥)
156 3mix3 1414 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥 → (𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥))
157153, 155, 1563syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∧ 𝑦𝑋)) → (𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥))
158157ex 449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∧ 𝑦𝑋) → (𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥)))
159 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (𝑥𝑋𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
160 brxp 5296 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦 ↔ (𝑥𝑋𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
161159, 160sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → 𝑥(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦)
162154ssbri 4841 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦)
163 3mix1 1412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦 → (𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥))
164161, 162, 1633syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥))
165164ex 449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ((𝑥𝑋𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥)))
166 elsni 4330 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} → 𝑥 = (𝑋𝐹(𝑊𝑋)))
167 elsni 4330 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} → 𝑦 = (𝑋𝐹(𝑊𝑋)))
168 eqtr3 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∧ 𝑦 = (𝑋𝐹(𝑊𝑋))) → 𝑥 = 𝑦)
169166, 167, 168syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → 𝑥 = 𝑦)
1701693mix2d 1419 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥))
171170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥)))
172149, 158, 165, 171ccased 1025 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (((𝑥𝑋𝑥 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ (𝑦𝑋𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥)))
173137, 172syl5bi 232 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ((𝑥 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥)))
174173ralrimivv 3100 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})∀𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})(𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥))
175 dfwe2 7138 . . . . . . . . 9 (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) We (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ↔ (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) Fr (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})∀𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})(𝑥((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑥 = 𝑦𝑦((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑥)))
176134, 174, 175sylanbrc 701 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) We (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
1772fpwwe2cbv 9636 . . . . . . . . . . . . 13 𝑊 = {⟨𝑎, 𝑠⟩ ∣ ((𝑎𝐴𝑠 ⊆ (𝑎 × 𝑎)) ∧ (𝑠 We 𝑎 ∧ ∀𝑧𝑎 [(𝑠 “ {𝑧}) / 𝑏](𝑏𝐹(𝑠 ∩ (𝑏 × 𝑏))) = 𝑧))}
178177, 4, 13fpwwe2lem3 9639 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑊𝑋) “ {𝑦})𝐹((𝑊𝑋) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦})))) = 𝑦)
179 cnvimass 5635 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) ⊆ dom ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
180 fvex 6354 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊𝑋) ∈ V
181 snex 5049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∈ V
182 xpexg 7117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 ∈ dom 𝑊 ∧ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∈ V) → (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∈ V)
1838, 181, 182sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∈ V)
184 unexg 7116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊𝑋) ∈ V ∧ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∈ V) → ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∈ V)
185180, 183, 184sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∈ V)
186 dmexg 7254 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∈ V → dom ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∈ V)
187185, 186syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → dom ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∈ V)
188 ssexg 4948 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) ⊆ dom ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∧ dom ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∈ V) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) ∈ V)
189179, 187, 188sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) ∈ V)
190189adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) ∈ V)
191 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) → 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}))
192 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦𝑋)
193 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋)
194 nelne2 3021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦𝑋 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → 𝑦 ≠ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)))
195192, 193, 194syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦 ≠ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)))
19688, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦𝑦 = (𝑋𝐹(𝑊𝑋)))
197196necon3ai 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ≠ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) → ¬ 𝑧(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦)
198 biorf 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑧(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦 → (𝑧(𝑊𝑋)𝑦 ↔ (𝑧(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦𝑧(𝑊𝑋)𝑦)))
199195, 197, 1983syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑧(𝑊𝑋)𝑦 ↔ (𝑧(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦𝑧(𝑊𝑋)𝑦)))
200 orcom 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦𝑧(𝑊𝑋)𝑦) ↔ (𝑧(𝑊𝑋)𝑦𝑧(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦))
201200, 85bitr4i 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧(𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑦𝑧(𝑊𝑋)𝑦) ↔ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦)
202199, 201syl6rbb 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦𝑧(𝑊𝑋)𝑦))
203 vex 3335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦 ∈ V
204 vex 3335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑧 ∈ V
205204eliniseg 5644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ V → (𝑧 ∈ (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) ↔ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦))
206203, 205ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) ↔ 𝑧((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))𝑦)
207204eliniseg 5644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ V → (𝑧 ∈ ((𝑊𝑋) “ {𝑦}) ↔ 𝑧(𝑊𝑋)𝑦))
208203, 207ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ((𝑊𝑋) “ {𝑦}) ↔ 𝑧(𝑊𝑋)𝑦)
209202, 206, 2083bitr4g 303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑧 ∈ (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) ↔ 𝑧 ∈ ((𝑊𝑋) “ {𝑦})))
210209eqrdv 2750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) = ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))
211191, 210sylan9eqr 2808 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})) → 𝑢 = ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))
212211sqxpeqd 5290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})) → (𝑢 × 𝑢) = (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦})))
213212ineq2d 3949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢)) = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))))
214 indir 4010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))) = (((𝑊𝑋) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))) ∪ ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))))
215 inxp 5402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))) = ((𝑋 ∩ ((𝑊𝑋) “ {𝑦})) × ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∩ ((𝑊𝑋) “ {𝑦})))
216 incom 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∩ ((𝑊𝑋) “ {𝑦})) = (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) ∩ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
217 cnvimass 5635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑊𝑋) “ {𝑦}) ⊆ dom (𝑊𝑋)
21818adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑊𝑋) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
219 dmss 5470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑊𝑋) ⊆ (𝑋 × 𝑋) → dom (𝑊𝑋) ⊆ dom (𝑋 × 𝑋))
220218, 219syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → dom (𝑊𝑋) ⊆ dom (𝑋 × 𝑋))
221 dmxpid 5492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 dom (𝑋 × 𝑋) = 𝑋
222220, 221syl6sseq 3784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → dom (𝑊𝑋) ⊆ 𝑋)
223217, 222syl5ss 3747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑊𝑋) “ {𝑦}) ⊆ 𝑋)
224223, 193ssneldd 3739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))
225 disjsn 4382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑊𝑋) “ {𝑦}) ∩ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = ∅ ↔ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))
226224, 225sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) ∩ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = ∅)
227216, 226syl5eq 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∩ ((𝑊𝑋) “ {𝑦})) = ∅)
228227xpeq2d 5288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑋 ∩ ((𝑊𝑋) “ {𝑦})) × ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∩ ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))) = ((𝑋 ∩ ((𝑊𝑋) “ {𝑦})) × ∅))
229 xp0 5702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∩ ((𝑊𝑋) “ {𝑦})) × ∅) = ∅
230228, 229syl6eq 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑋 ∩ ((𝑊𝑋) “ {𝑦})) × ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∩ ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))) = ∅)
231215, 230syl5eq 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))) = ∅)
232231uneq2d 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑊𝑋) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))) ∪ ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦})))) = (((𝑊𝑋) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))) ∪ ∅))
233214, 232syl5eq 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))) = (((𝑊𝑋) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))) ∪ ∅))
234 un0 4102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊𝑋) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))) ∪ ∅) = ((𝑊𝑋) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦})))
235233, 234syl6eq 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))) = ((𝑊𝑋) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))))
236235adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))) = ((𝑊𝑋) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))))
237213, 236eqtrd 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢)) = ((𝑊𝑋) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦}))))
238211, 237oveq12d 6823 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})) → (𝑢𝐹(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = (((𝑊𝑋) “ {𝑦})𝐹((𝑊𝑋) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦})))))
239238eqeq1d 2754 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})) → ((𝑢𝐹(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦 ↔ (((𝑊𝑋) “ {𝑦})𝐹((𝑊𝑋) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦})))) = 𝑦))
240190, 239sbcied 3605 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ([(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦 ↔ (((𝑊𝑋) “ {𝑦})𝐹((𝑊𝑋) ∩ (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) × ((𝑊𝑋) “ {𝑦})))) = 𝑦))
241178, 240mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → [(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦)
242167adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → 𝑦 = (𝑋𝐹(𝑊𝑋)))
243242eqcomd 2758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) = 𝑦)
244189adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) ∈ V)
245 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋)
246242eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (𝑦 ∈ dom (𝑊𝑋) ↔ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ dom (𝑊𝑋)))
24718adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (𝑊𝑋) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
248 rnss 5501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑊𝑋) ⊆ (𝑋 × 𝑋) → ran (𝑊𝑋) ⊆ ran (𝑋 × 𝑋))
249247, 248syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ran (𝑊𝑋) ⊆ ran (𝑋 × 𝑋))
250 df-rn 5269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ran (𝑊𝑋) = dom (𝑊𝑋)
251 rnxpid 5717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ran (𝑋 × 𝑋) = 𝑋
252249, 250, 2513sstr3g 3778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → dom (𝑊𝑋) ⊆ 𝑋)
253252sseld 3735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ((𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ dom (𝑊𝑋) → (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋))
254246, 253sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (𝑦 ∈ dom (𝑊𝑋) → (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋))
255245, 254mtod 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ¬ 𝑦 ∈ dom (𝑊𝑋))
256 ndmima 5652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦 ∈ dom (𝑊𝑋) → ((𝑊𝑋) “ {𝑦}) = ∅)
257255, 256syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ((𝑊𝑋) “ {𝑦}) = ∅)
258242sneqd 4325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → {𝑦} = {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
259258imaeq2d 5616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) “ {𝑦}) = ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) “ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
260 df-ima 5271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) “ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = ran ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ↾ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
261 cnvxp 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} × 𝑋)
262261reseq1i 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ↾ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = (({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} × 𝑋) ↾ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
263 ssid 3757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}
264 xpssres 5584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ⊆ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} → (({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} × 𝑋) ↾ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} × 𝑋))
265263, 264ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} × 𝑋) ↾ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} × 𝑋)
266262, 265eqtri 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ↾ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} × 𝑋)
267266rneqi 5499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ran ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ↾ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = ran ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} × 𝑋)
26846snnz 4444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ≠ ∅
269 rnxp 5714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ≠ ∅ → ran ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} × 𝑋) = 𝑋)
270268, 269ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ran ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} × 𝑋) = 𝑋
271267, 270eqtri 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ran ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ↾ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = 𝑋
272260, 271eqtri 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) “ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = 𝑋
273259, 272syl6eq 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) “ {𝑦}) = 𝑋)
274257, 273uneq12d 3903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) ∪ ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) “ {𝑦})) = (∅ ∪ 𝑋))
275 cnvun 5688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) = ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))
276275imaeq1i 5613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})
277 imaundir 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) = (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) ∪ ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) “ {𝑦}))
278276, 277eqtri 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) = (((𝑊𝑋) “ {𝑦}) ∪ ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) “ {𝑦}))
279 un0 4102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∪ ∅) = 𝑋
280 uncom 3892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋 ∪ ∅) = (∅ ∪ 𝑋)
281279, 280eqtr3i 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑋 = (∅ ∪ 𝑋)
282274, 278, 2813eqtr4g 2811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) = 𝑋)
283191, 282sylan9eqr 2808 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})) → 𝑢 = 𝑋)
284283sqxpeqd 5290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})) → (𝑢 × 𝑢) = (𝑋 × 𝑋))
285284ineq2d 3949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢)) = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑋 × 𝑋)))
286 indir 4010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑋 × 𝑋)) = (((𝑊𝑋) ∩ (𝑋 × 𝑋)) ∪ ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∩ (𝑋 × 𝑋)))
287 df-ss 3721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊𝑋) ⊆ (𝑋 × 𝑋) ↔ ((𝑊𝑋) ∩ (𝑋 × 𝑋)) = (𝑊𝑋))
288247, 287sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ((𝑊𝑋) ∩ (𝑋 × 𝑋)) = (𝑊𝑋))
289 incom 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∩ 𝑋) = (𝑋 ∩ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})
290 disjsn 4382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 ∩ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = ∅ ↔ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋)
291245, 290sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (𝑋 ∩ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) = ∅)
292289, 291syl5eq 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∩ 𝑋) = ∅)
293292xpeq2d 5288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (𝑋 × ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∩ 𝑋)) = (𝑋 × ∅))
294 xpindi 5403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑋 × ({(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ∩ 𝑋)) = ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∩ (𝑋 × 𝑋))
295 xp0 5702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑋 × ∅) = ∅
296293, 294, 2953eqtr3g 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∩ (𝑋 × 𝑋)) = ∅)
297288, 296uneq12d 3903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (((𝑊𝑋) ∩ (𝑋 × 𝑋)) ∪ ((𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∩ (𝑋 × 𝑋))) = ((𝑊𝑋) ∪ ∅))
298286, 297syl5eq 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑋 × 𝑋)) = ((𝑊𝑋) ∪ ∅))
299 un0 4102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊𝑋) ∪ ∅) = (𝑊𝑋)
300298, 299syl6eq 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑋 × 𝑋)) = (𝑊𝑋))
301300adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑋 × 𝑋)) = (𝑊𝑋))
302285, 301eqtrd 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢)) = (𝑊𝑋))
303283, 302oveq12d 6823 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})) → (𝑢𝐹(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = (𝑋𝐹(𝑊𝑋)))
304303eqeq1d 2754 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ 𝑢 = (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦})) → ((𝑢𝐹(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦 ↔ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) = 𝑦))
305244, 304sbcied 3605 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → ([(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦 ↔ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) = 𝑦))
306243, 305mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) → [(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦)
307241, 306jaodan 861 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑦 ∈ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → [(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦)
308136, 307sylan2b 493 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → [(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦)
309308ralrimiva 3096 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})[(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦)
310176, 309jca 555 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) We (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})[(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦))
3112, 3fpwwe2lem2 9638 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑊((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ↔ (((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ⊆ 𝐴 ∧ ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ⊆ ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) × (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))) ∧ (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) We (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})[(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦))))
312311adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑊((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ↔ (((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ⊆ 𝐴 ∧ ((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ⊆ ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) × (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}))) ∧ (((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) We (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})[(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) “ {𝑦}) / 𝑢](𝑢𝐹(((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) ∩ (𝑢 × 𝑢))) = 𝑦))))
31334, 310, 312mpbir2and 995 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑊((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})))
3142relopabi 5393 . . . . . . 7 Rel 𝑊
315314releldmi 5509 . . . . . 6 ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})𝑊((𝑊𝑋) ∪ (𝑋 × {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))})) → (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∈ dom 𝑊)
316 elssuni 4611 . . . . . 6 ((𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ∈ dom 𝑊 → (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ⊆ dom 𝑊)
317313, 315, 3163syl 18 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ⊆ dom 𝑊)
318317, 7syl6sseqr 3785 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑋 ∪ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))}) ⊆ 𝑋)
3191, 318syl5ss 3747 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ⊆ 𝑋)
32046snss 4452 . . 3 ((𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋 ↔ {(𝑋𝐹(𝑊𝑋))} ⊆ 𝑋)
321319, 320sylibr 224 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋) → (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋)
322321pm2.18da 458 1 (𝜑 → (𝑋𝐹(𝑊𝑋)) ∈ 𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∨ w3o 1071   ∧ w3a 1072  ∀wal 1622   = wceq 1624   ∈ wcel 2131   ≠ wne 2924  ∀wral 3042  ∃wrex 3043  Vcvv 3332  [wsbc 3568   ∖ cdif 3704   ∪ cun 3705   ∩ cin 3706   ⊆ wss 3707  ∅c0 4050  𝒫 cpw 4294  {csn 4313  ∪ cuni 4580   class class class wbr 4796  {copab 4856   Or wor 5178   Fr wfr 5214   We wwe 5216   × cxp 5256  ◡ccnv 5257  dom cdm 5258  ran crn 5259   ↾ cres 5260   “ cima 5261  Fun wfun 6035  ⟶wf 6037  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-oi 8572 This theorem is referenced by:  fpwwe2  9649
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