Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodsubrecnncnvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodsubrecnncnvlem 40642
Description: The sequence 𝑆 of finite products, where every factor is subtracted an "always smaller" amount, converges to the finite product of the factors. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsubrecnncnvlem.k 𝑘𝜑
fprodsubrecnncnvlem.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodsubrecnncnvlem.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodsubrecnncnvlem.s 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
fprodsubrecnncnvlem.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑥))
fprodsubrecnncnvlem.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
Assertion
Ref Expression
fprodsubrecnncnvlem (𝜑𝑆 ⇝ ∏𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝑥,𝐵   𝑛,𝐹   𝑛,𝐺   𝑘,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fprodsubrecnncnvlem
StepHypRef Expression
1 nnuz 11936 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11620 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 fprodsubrecnncnvlem.k . . . 4 𝑘𝜑
4 fprodsubrecnncnvlem.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
5 fprodsubrecnncnvlem.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 fprodsubrecnncnvlem.f . . . 4 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑥))
73, 4, 5, 6fprodsub2cncf 40640 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
8 1rp 12049 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
10 nnrp 12055 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
119, 10rpdivcld 12102 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1211rpcnd 12087 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
1312adantl 473 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℂ)
14 fprodsubrecnncnvlem.g . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
1513, 14fmptd 6549 . . 3 (𝜑𝐺:ℕ⟶ℂ)
16 1cnd 10268 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
17 divcnv 14804 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
1816, 17syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
1914a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)))
2019breq1d 4814 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0))
2118, 20mpbird 247 . . 3 (𝜑𝐺 ⇝ 0)
22 0cnd 10245 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
231, 2, 7, 15, 21, 22climcncf 22924 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐺) ⇝ (𝐹‘0))
24 nfv 1992 . . . . . . . 8 𝑘 𝑥 ∈ ℂ
253, 24nfan 1977 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑥 ∈ ℂ)
264adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ Fin)
275adantlr 753 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28 simplr 809 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
2927, 28subcld 10604 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵𝑥) ∈ ℂ)
3025, 26, 29fprodclf 14942 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑥) ∈ ℂ)
3130, 6fmptd 6549 . . . . 5 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
32 fcompt 6564 . . . . 5 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℂ) → (𝐹𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺𝑛))))
3331, 15, 32syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐺) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺𝑛))))
34 fprodsubrecnncnvlem.s . . . . . 6 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
3534a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛))))
36 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
3714fvmpt2 6454 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / 𝑛) ∈ ℂ) → (𝐺𝑛) = (1 / 𝑛))
3836, 12, 37syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐺𝑛) = (1 / 𝑛))
3938fveq2d 6357 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝐺𝑛)) = (𝐹‘(1 / 𝑛)))
4039adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(𝐺𝑛)) = (𝐹‘(1 / 𝑛)))
416a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑥)))
42 oveq2 6822 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (1 / 𝑛) → (𝐵𝑥) = (𝐵 − (1 / 𝑛)))
4342prodeq2ad 40345 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (1 / 𝑛) → ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑥) = ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
4443adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 = (1 / 𝑛)) → ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑥) = ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
45 prodex 14856 . . . . . . . . 9 𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)) ∈ V
4645a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)) ∈ V)
4741, 44, 13, 46fvmptd 6451 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹‘(1 / 𝑛)) = ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)))
4840, 47eqtr2d 2795 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛)) = (𝐹‘(𝐺𝑛)))
4948mpteq2dva 4896 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵 − (1 / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺𝑛))))
5035, 49eqtrd 2794 . . . 4 (𝜑𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹‘(𝐺𝑛))))
5133, 50eqtr4d 2797 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐺) = 𝑆)
526a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑥)))
53 nfv 1992 . . . . . . 7 𝑘 𝑥 = 0
543, 53nfan 1977 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑥 = 0)
55 oveq2 6822 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝐵𝑥) = (𝐵 − 0))
5655ad2antlr 765 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵𝑥) = (𝐵 − 0))
575subid1d 10593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
5857adantlr 753 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 − 0) = 𝐵)
5956, 58eqtrd 2794 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵𝑥) = 𝐵)
6059ex 449 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 0) → (𝑘𝐴 → (𝐵𝑥) = 𝐵))
6154, 60ralrimi 3095 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 0) → ∀𝑘𝐴 (𝐵𝑥) = 𝐵)
6261prodeq2d 14871 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 0) → ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑥) = ∏𝑘𝐴 𝐵)
63 prodex 14856 . . . . 5 𝑘𝐴 𝐵 ∈ V
6463a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ V)
6552, 62, 22, 64fvmptd 6451 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘0) = ∏𝑘𝐴 𝐵)
6651, 65breq12d 4817 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐺) ⇝ (𝐹‘0) ↔ 𝑆 ⇝ ∏𝑘𝐴 𝐵))
6723, 66mpbid 222 1 (𝜑𝑆 ⇝ ∏𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wnf 1857  wcel 2139  Vcvv 3340   class class class wbr 4804  cmpt 4881  ccom 5270  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  cc 10146  0cc0 10148  1c1 10149  cmin 10478   / cdiv 10896  cn 11232  +crp 12045  cli 14434  cprod 14854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-prod 14855  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902
This theorem is referenced by:  fprodsubrecnncnv  40643
  Copyright terms: Public domain W3C validator