MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodsplit1f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodsplit1f 14765
Description: Separate out a term in a finite product. A version of fprodsplit1 40143 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplit1f.kph 𝑘𝜑
fprodsplit1f.fk (𝜑𝑘𝐷)
fprodsplit1f.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodsplit1f.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodsplit1f.c (𝜑𝐶𝐴)
fprodsplit1f.d ((𝜑𝑘 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
fprodsplit1f (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐷 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplit1f
StepHypRef Expression
1 fprodsplit1f.kph . . 3 𝑘𝜑
2 disjdif 4073 . . . 4 ({𝐶} ∩ (𝐴 ∖ {𝐶})) = ∅
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → ({𝐶} ∩ (𝐴 ∖ {𝐶})) = ∅)
4 fprodsplit1f.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐴)
5 snssi 4371 . . . . . 6 (𝐶𝐴 → {𝐶} ⊆ 𝐴)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → {𝐶} ⊆ 𝐴)
7 undif 4082 . . . . 5 ({𝐶} ⊆ 𝐴 ↔ ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})) = 𝐴)
86, 7sylib 208 . . . 4 (𝜑 → ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})) = 𝐴)
98eqcomd 2657 . . 3 (𝜑𝐴 = ({𝐶} ∪ (𝐴 ∖ {𝐶})))
10 fprodsplit1f.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
11 fprodsplit1f.b . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
121, 3, 9, 10, 11fprodsplitf 14763 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
13 fprodsplit1f.fk . . . . . . 7 (𝜑𝑘𝐷)
14 fprodsplit1f.d . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 = 𝐶) → 𝐵 = 𝐷)
151, 13, 4, 14csbiedf 3587 . . . . . 6 (𝜑𝐶 / 𝑘𝐵 = 𝐷)
1615eqcomd 2657 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = 𝐶 / 𝑘𝐵)
174ancli 573 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝜑𝐶𝐴))
18 nfcv 2793 . . . . . . . . 9 𝑘𝐶
19 nfv 1883 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝐶𝐴
201, 19nfan 1868 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝜑𝐶𝐴)
2118nfcsb1 3581 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝐶 / 𝑘𝐵
22 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑘
2321, 22nfel 2806 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
2420, 23nfim 1865 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
25 eleq1 2718 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐶 → (𝑘𝐴𝐶𝐴))
2625anbi2d 740 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐶 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝐶𝐴)))
27 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝐶𝐵 = 𝐶 / 𝑘𝐵)
2827eleq1d 2715 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐶 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
2926, 28imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐶 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
3018, 24, 29, 11vtoclgf 3295 . . . . . . . 8 (𝐶𝐴 → ((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
314, 17, 30sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
3216, 31eqeltrd 2730 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3315, 32eqeltrd 2730 . . . . 5 (𝜑𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
34 prodsns 14746 . . . . 5 ((𝐶𝐴𝐶 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 = 𝐶 / 𝑘𝐵)
354, 33, 34syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 = 𝐶 / 𝑘𝐵)
3635, 15eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 = 𝐷)
3736oveq1d 6705 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {𝐶}𝐵 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵) = (𝐷 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
3812, 37eqtrd 2685 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (𝐷 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wnf 1748  wcel 2030  wnfc 2780  csb 3566  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  {csn 4210  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972   · cmul 9979  cprod 14679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-prod 14680
This theorem is referenced by:  fprodeq0g  14769  fprodsplit1  40143  fprod0  40146  dvmptfprodlem  40477
  Copyright terms: Public domain W3C validator