MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodsplit 14902
Description: Split a finite product into two parts. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodsplit.1 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
fprodsplit.2 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
fprodsplit.3 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
fprodsplit.4 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fprodsplit (𝜑 → ∏𝑘𝑈 𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘𝐵 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑈,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplit
StepHypRef Expression
1 iftrue 4229 . . . . 5 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) = 𝐶)
21prodeq2i 14855 . . . 4 𝑘𝐴 if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) = ∏𝑘𝐴 𝐶
3 ssun1 3925 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
4 fprodsplit.2 . . . . . 6 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
53, 4syl5sseqr 3801 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑈)
61adantl 467 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) = 𝐶)
75sselda 3750 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝑈)
8 fprodsplit.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
97, 8syldan 571 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
106, 9eqeltrd 2849 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
11 eldifn 3882 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑈𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
1211iffalsed 4234 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑈𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) = 1)
1312adantl 467 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝐴)) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) = 1)
14 fprodsplit.3 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
155, 10, 13, 14fprodss 14884 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) = ∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 1))
162, 15syl5eqr 2818 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐶 = ∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 1))
17 iftrue 4229 . . . . 5 (𝑘𝐵 → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = 𝐶)
1817prodeq2i 14855 . . . 4 𝑘𝐵 if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = ∏𝑘𝐵 𝐶
19 ssun2 3926 . . . . . 6 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
2019, 4syl5sseqr 3801 . . . . 5 (𝜑𝐵𝑈)
2117adantl 467 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = 𝐶)
2220sselda 3750 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑘𝑈)
2322, 8syldan 571 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
2421, 23eqeltrd 2849 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
25 eldifn 3882 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑈𝐵) → ¬ 𝑘𝐵)
2625iffalsed 4234 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑈𝐵) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = 1)
2726adantl 467 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑈𝐵)) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = 1)
2820, 24, 27, 14fprodss 14884 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘𝐵 if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = ∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))
2918, 28syl5eqr 2818 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘𝐵 𝐶 = ∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 1))
3016, 29oveq12d 6810 . 2 (𝜑 → (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘𝐵 𝐶) = (∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · ∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)))
31 ax-1cn 10195 . . . 4 1 ∈ ℂ
32 ifcl 4267 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
338, 31, 32sylancl 566 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
34 ifcl 4267 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
358, 31, 34sylancl 566 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) ∈ ℂ)
3614, 33, 35fprodmul 14896 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑈 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = (∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · ∏𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)))
374eleq2d 2835 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝑈𝑘 ∈ (𝐴𝐵)))
38 elun 3902 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
3937, 38syl6bb 276 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑈 ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
4039biimpa 462 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑘𝐴𝑘𝐵))
41 fprodsplit.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
42 disjel 4165 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵) = ∅ ∧ 𝑘𝐴) → ¬ 𝑘𝐵)
4341, 42sylan 561 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝑘𝐵)
4443iffalsed 4234 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 1) = 1)
456, 44oveq12d 6810 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = (𝐶 · 1))
469mulid1d 10258 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶 · 1) = 𝐶)
4745, 46eqtrd 2804 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
4843ex 397 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴 → ¬ 𝑘𝐵))
4948con2d 131 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐵 → ¬ 𝑘𝐴))
5049imp 393 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → ¬ 𝑘𝐴)
5150iffalsed 4234 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) = 1)
5251, 21oveq12d 6810 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = (1 · 𝐶))
5323mulid2d 10259 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → (1 · 𝐶) = 𝐶)
5452, 53eqtrd 2804 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
5547, 54jaodan 938 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑘𝐵)) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
5640, 55syldan 571 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = 𝐶)
5756prodeq2dv 14859 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑈 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 1) · if(𝑘𝐵, 𝐶, 1)) = ∏𝑘𝑈 𝐶)
5830, 36, 573eqtr2rd 2811 1 (𝜑 → ∏𝑘𝑈 𝐶 = (∏𝑘𝐴 𝐶 · ∏𝑘𝐵 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  wo 826   = wceq 1630  wcel 2144  cdif 3718  cun 3719  cin 3720  c0 4061  ifcif 4223  (class class class)co 6792  Fincfn 8108  cc 10135  1c1 10138   · cmul 10142  cprod 14841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-oi 8570  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-prod 14842
This theorem is referenced by:  fprodm1  14903  fprod1p  14904  fprodeq0  14911  fprod2dlem  14916  fprodsplitf  14924  fallfacval4  14979  fprodfvdvdsd  15265  prmdvdsprmo  15952  gausslemma2dlem4  25314  gausslemma2dlem6  25317  fprodeq02  29903  prodpr  29906  prodtp  29907  prodfzo03  31015
  Copyright terms: Public domain W3C validator