MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodp1 14919
Description: Multiply in the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 24-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodp1.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fprodp1.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodp1.3 (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fprodp1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodp1
StepHypRef Expression
1 fprodp1.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 peano2uz 11955 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
4 fprodp1.2 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 fprodp1.3 . . 3 (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)
63, 4, 5fprodm1 14917 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...((𝑁 + 1) − 1))𝐴 · 𝐵))
7 eluzelz 11910 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
81, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
98zcnd 11696 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
10 1cnd 10269 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
119, 10pncand 10606 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
1211oveq2d 6831 . . . 4 (𝜑 → (𝑀...((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑁))
1312prodeq1d 14871 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...((𝑁 + 1) − 1))𝐴 = ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴)
1413oveq1d 6830 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...((𝑁 + 1) − 1))𝐴 · 𝐵) = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · 𝐵))
156, 14eqtrd 2795 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  cfv 6050  (class class class)co 6815  cc 10147  1c1 10150   + caddc 10152   · cmul 10154  cmin 10479  cz 11590  cuz 11900  ...cfz 12540  cprod 14855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-exp 13076  df-hash 13333  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-clim 14439  df-prod 14856
This theorem is referenced by:  fprodp1s  14921  fprodefsum  15045  fmtnorec2lem  41983
  Copyright terms: Public domain W3C validator