Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodn0 14753
 Description: A finite product of nonzero terms is nonzero. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodn0.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodn0.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodn0.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
fprodn0 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodn0
Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 14683 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
2 prod0 14717 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
31, 2syl6eq 2701 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 1)
4 ax-1ne0 10043 . . . . 5 1 ≠ 0
54a1i 11 . . . 4 (𝐴 = ∅ → 1 ≠ 0)
63, 5eqnetrd 2890 . . 3 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
76a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0))
8 prodfc 14719 . . . . . . 7 𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = ∏𝑘𝐴 𝐵
9 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑓𝑛) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑛)))
10 simprl 809 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
11 simprr 811 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
12 fprodn0.2 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
13 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
1412, 13fmptd 6425 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
1514adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
1615ffvelrnda 6399 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) ∈ ℂ)
17 f1of 6175 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝑓:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴)
1811, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴)
19 fvco3 6314 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑛)))
2018, 19sylan 487 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑛) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑛)))
219, 10, 11, 16, 20fprod 14715 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = (seq1( · , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(#‘𝐴)))
228, 21syl5eqr 2699 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (seq1( · , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(#‘𝐴)))
23 nnuz 11761 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
2410, 23syl6eleq 2740 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (#‘𝐴) ∈ (ℤ‘1))
25 fco 6096 . . . . . . . . 9 (((𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓):(1...(#‘𝐴))⟶ℂ)
2615, 18, 25syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓):(1...(#‘𝐴))⟶ℂ)
2726ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) ∈ ℂ)
28 fvco3 6314 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(1...(#‘𝐴))⟶𝐴𝑚 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)))
2918, 28sylan 487 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)))
3017ffvelrnda 6399 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝑚 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝑓𝑚) ∈ 𝐴)
3130adantll 750 . . . . . . . . . 10 ((((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑚 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (𝑓𝑚) ∈ 𝐴)
32 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑚) ∈ 𝐴) → (𝑓𝑚) ∈ 𝐴)
33 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝑓𝑚)
34 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘𝜑
35 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵
3635nfel1 2808 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
3734, 36nfim 1865 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
38 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = (𝑓𝑚) → 𝐵 = (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵)
3938eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = (𝑓𝑚) → (𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
4039imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑓𝑚) → ((𝜑𝐵 ∈ ℂ) ↔ (𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
4112expcom 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝐴 → (𝜑𝐵 ∈ ℂ))
4233, 37, 40, 41vtoclgaf 3302 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓𝑚) ∈ 𝐴 → (𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
4342impcom 445 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑚) ∈ 𝐴) → (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
4413fvmpts 6324 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓𝑚) ∈ 𝐴(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)) = (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵)
4532, 43, 44syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑚) ∈ 𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)) = (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵)
46 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘0
4735, 46nfne 2923 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0
4834, 47nfim 1865 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0)
4938neeq1d 2882 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑓𝑚) → (𝐵 ≠ 0 ↔ (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0))
5049imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑓𝑚) → ((𝜑𝐵 ≠ 0) ↔ (𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0)))
51 fprodn0.3 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ≠ 0)
5251expcom 450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝐴 → (𝜑𝐵 ≠ 0))
5333, 48, 50, 52vtoclgaf 3302 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑚) ∈ 𝐴 → (𝜑(𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0))
5453impcom 445 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑚) ∈ 𝐴) → (𝑓𝑚) / 𝑘𝐵 ≠ 0)
5545, 54eqnetrd 2890 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓𝑚) ∈ 𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)) ≠ 0)
5631, 55sylan2 490 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑚 ∈ (1...(#‘𝐴)))) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)) ≠ 0)
5756anassrs 681 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(#‘𝐴))) → ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑚)) ≠ 0)
5829, 57eqnetrd 2890 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚 ∈ (1...(#‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑚) ≠ 0)
5924, 27, 58prodfn0 14670 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (seq1( · , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(#‘𝐴)) ≠ 0)
6022, 59eqnetrd 2890 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
6160expr 642 . . . 4 ((𝜑 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0))
6261exlimdv 1901 . . 3 ((𝜑 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0))
6362expimpd 628 . 2 (𝜑 → (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0))
64 fprodn0.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
65 fz1f1o 14485 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
6664, 65syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
677, 63, 66mpjaod 395 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ≠ 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523  ∃wex 1744   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ⦋csb 3566  ∅c0 3948   ↦ cmpt 4762   ∘ ccom 5147  ⟶wf 5922  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  ℂcc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  ℕcn 11058  ℤ≥cuz 11725  ...cfz 12364  seqcseq 12841  #chash 13157  ∏cprod 14679 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-prod 14680 This theorem is referenced by:  fallfacval4  14818  absprodnn  15378  bcc0  38856  mccllem  40147  dvnprodlem2  40480  etransclem15  40784  etransclem25  40794  etransclem31  40800  etransclem32  40801  etransclem33  40802  etransclem34  40803
 Copyright terms: Public domain W3C validator