Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodm1s Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodm1s 14907
 Description: Separate out the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 27-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodm1s.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fprodm1s.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fprodm1s (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝑁 / 𝑘𝐴))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodm1s
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodm1s.1 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 fprodm1s.2 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
32ralrimiva 3115 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
4 nfcsb1v 3698 . . . . . 6 𝑘𝑚 / 𝑘𝐴
54nfel1 2928 . . . . 5 𝑘𝑚 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ
6 csbeq1a 3691 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑘𝐴)
76eleq1d 2835 . . . . 5 (𝑘 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑚 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ))
85, 7rspc 3454 . . . 4 (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ → 𝑚 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ))
93, 8mpan9 496 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑚 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
10 csbeq1 3685 . . 3 (𝑚 = 𝑁𝑚 / 𝑘𝐴 = 𝑁 / 𝑘𝐴)
111, 9, 10fprodm1 14904 . 2 (𝜑 → ∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)𝑚 / 𝑘𝐴 = (∏𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝑚 / 𝑘𝐴 · 𝑁 / 𝑘𝐴))
12 nfcv 2913 . . 3 𝑚𝐴
1312, 4, 6cbvprodi 14854 . 2 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = ∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)𝑚 / 𝑘𝐴
1412, 4, 6cbvprodi 14854 . . 3 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = ∏𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝑚 / 𝑘𝐴
1514oveq1i 6803 . 2 (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝑁 / 𝑘𝐴) = (∏𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝑚 / 𝑘𝐴 · 𝑁 / 𝑘𝐴)
1611, 13, 153eqtr4g 2830 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝑁 / 𝑘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ⦋csb 3682  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℂcc 10136  1c1 10139   · cmul 10143   − cmin 10468  ℤ≥cuz 11888  ...cfz 12533  ∏cprod 14842 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-prod 14843 This theorem is referenced by:  fprodeq0  14912
 Copyright terms: Public domain W3C validator