MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodm1 14888
Description: Separate out the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodm1.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fprodm1.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodm1.3 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fprodm1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodm1
StepHypRef Expression
1 fzp1nel 12609 . . . . 5 ¬ ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))
2 fprodm1.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
3 eluzelz 11881 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
54zcnd 11667 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
6 1cnd 10240 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
75, 6npcand 10580 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
87eleq1d 2816 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑁 − 1) + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
91, 8mtbii 315 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
10 disjsn 4382 . . . 4 (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
119, 10sylibr 224 . . 3 (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅)
12 eluzel2 11876 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
132, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
14 peano2zm 11604 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
1613zcnd 11667 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1716, 6npcand 10580 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
1817fveq2d 6348 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1)) = (ℤ𝑀))
192, 18eleqtrrd 2834 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1)))
20 eluzp1m1 11895 . . . . . 6 (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
2115, 19, 20syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
22 fzsuc2 12583 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
2313, 21, 22syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
247oveq2d 6821 . . . 4 (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
257sneqd 4325 . . . . 5 (𝜑 → {((𝑁 − 1) + 1)} = {𝑁})
2625uneq2d 3902 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
2723, 24, 263eqtr3d 2794 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
28 fzfid 12958 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
29 fprodm1.2 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3011, 27, 28, 29fprodsplit 14887 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴))
31 eluzfz2 12534 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
322, 31syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
3329ralrimiva 3096 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
34 fprodm1.3 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐵)
3534eleq1d 2816 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
3635rspcv 3437 . . . . 5 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ → 𝐵 ∈ ℂ))
3732, 33, 36sylc 65 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3834prodsn 14883 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴 = 𝐵)
392, 37, 38syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴 = 𝐵)
4039oveq2d 6821 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴) = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))
4130, 40eqtrd 2786 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wral 3042  cun 3705  cin 3706  c0 4050  {csn 4313  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  1c1 10121   + caddc 10123   · cmul 10125  cmin 10450  cz 11561  cuz 11871  ...cfz 12511  cprod 14826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-oi 8572  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-prod 14827
This theorem is referenced by:  fprodp1  14890  fprodm1s  14891  risefacp1  14951  fallfacp1  14952  prmop1  15936  bcprod  31923
  Copyright terms: Public domain W3C validator