MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodge1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodge1 14945
Description: If all of the terms of a finite product are larger or equal to 1, so is the product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodge1.ph 𝑘𝜑
fprodge1.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodge1.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fprodge1.ge ((𝜑𝑘𝐴) → 1 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fprodge1 (𝜑 → 1 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodge1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 10251 . . . 4 1 ∈ ℝ
21rexri 10309 . . 3 1 ∈ ℝ*
32a1i 11 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 10304 . . 3 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . 2 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
6 fprodge1.ph . . 3 𝑘𝜑
7 icossre 12467 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1[,)+∞) ⊆ ℝ)
81, 4, 7mp2an 710 . . . . 5 (1[,)+∞) ⊆ ℝ
9 ax-resscn 10205 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
108, 9sstri 3753 . . . 4 (1[,)+∞) ⊆ ℂ
1110a1i 11 . . 3 (𝜑 → (1[,)+∞) ⊆ ℂ)
122a1i 11 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ*)
134a1i 11 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → +∞ ∈ ℝ*)
148sseli 3740 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
1514adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
168sseli 3740 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (1[,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
1716adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 𝑦 ∈ ℝ)
1815, 17remulcld 10282 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
1918rexrd 10301 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ*)
20 1t1e1 11387 . . . . . . . 8 (1 · 1) = 1
2120eqcomi 2769 . . . . . . 7 1 = (1 · 1)
2221a1i 11 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 = (1 · 1))
231a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
24 0le1 10763 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
2524a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 0 ≤ 1)
262a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ∈ ℝ*)
274a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
28 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 𝑥 ∈ (1[,)+∞))
29 icogelb 12438 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
3026, 27, 28, 29syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑥)
3130adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
322a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (1[,)+∞) → 1 ∈ ℝ*)
334a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (1[,)+∞) → +∞ ∈ ℝ*)
34 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (1[,)+∞) → 𝑦 ∈ (1[,)+∞))
35 icogelb 12438 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑦)
3632, 33, 34, 35syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (1[,)+∞) → 1 ≤ 𝑦)
3736adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ 𝑦)
3823, 15, 23, 17, 25, 25, 31, 37lemul12ad 11178 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (1 · 1) ≤ (𝑥 · 𝑦))
3922, 38eqbrtrd 4826 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ (𝑥 · 𝑦))
4018ltpnfd 12168 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) < +∞)
4112, 13, 19, 39, 40elicod 12437 . . . 4 ((𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (1[,)+∞))
4241adantl 473 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (1[,)+∞))) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (1[,)+∞))
43 fprodge1.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
442a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 1 ∈ ℝ*)
454a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → +∞ ∈ ℝ*)
46 fprodge1.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4746rexrd 10301 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
48 fprodge1.ge . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 1 ≤ 𝐵)
4946ltpnfd 12168 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 < +∞)
5044, 45, 47, 48, 49elicod 12437 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (1[,)+∞))
51 1le1 10867 . . . . . 6 1 ≤ 1
52 ltpnf 12167 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ → 1 < +∞)
531, 52ax-mp 5 . . . . . 6 1 < +∞
541, 51, 533pm3.2i 1424 . . . . 5 (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)
55 elico2 12450 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (1 ∈ (1[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1 ∧ 1 < +∞)))
561, 4, 55mp2an 710 . . . . 5 (1 ∈ (1[,)+∞) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 1 ∧ 1 < +∞))
5754, 56mpbir 221 . . . 4 1 ∈ (1[,)+∞)
5857a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ (1[,)+∞))
596, 11, 42, 43, 50, 58fprodcllemf 14907 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (1[,)+∞))
60 icogelb 12438 . 2 ((1 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ∏𝑘𝐴 𝐵 ∈ (1[,)+∞)) → 1 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
613, 5, 59, 60syl3anc 1477 1 (𝜑 → 1 ≤ ∏𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wnf 1857  wcel 2139  wss 3715   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   · cmul 10153  +∞cpnf 10283  *cxr 10285   < clt 10286  cle 10287  [,)cico 12390  cprod 14854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-ico 12394  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-prod 14855
This theorem is referenced by:  fprodle  14946
  Copyright terms: Public domain W3C validator