Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodfvdvdsd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodfvdvdsd 15280
 Description: A finite product of integers is divisible by any of its factors being function values. (Contributed by AV, 1-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodfvdvdsd.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodfvdvdsd.b (𝜑𝐴𝐵)
fprodfvdvdsd.f (𝜑𝐹:𝐵⟶ℤ)
Assertion
Ref Expression
fprodfvdvdsd (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∥ ∏𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,𝑘)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fprodfvdvdsd
StepHypRef Expression
1 fprodfvdvdsd.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
21adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
3 diffi 8359 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
42, 3syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑥}) ∈ Fin)
5 fprodfvdvdsd.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐵⟶ℤ)
65adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
7 fprodfvdvdsd.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐵)
87ssdifssd 3891 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝑥}) ⊆ 𝐵)
98sselda 3744 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → 𝑘𝐵)
106, 9ffvelrnd 6524 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
1110adantlr 753 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
124, 11fprodzcl 14903 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) ∈ ℤ)
135adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
147sselda 3744 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐵)
1513, 14ffvelrnd 6524 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℤ)
16 dvdsmul2 15226 . . . 4 ((∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) ∈ ℤ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℤ) → (𝐹𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · (𝐹𝑥)))
1712, 15, 16syl2anc 696 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · (𝐹𝑥)))
1817ralrimiva 3104 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · (𝐹𝑥)))
19 neldifsnd 4468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}))
20 disjsn 4390 . . . . . . 7 (((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅ ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}))
2119, 20sylibr 224 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∩ {𝑥}) = ∅)
22 difsnid 4486 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}) = 𝐴)
2322eqcomd 2766 . . . . . . 7 (𝑥𝐴𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
2423adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑥}) ∪ {𝑥}))
2513adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐹:𝐵⟶ℤ)
267adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐴𝐵)
2726sselda 3744 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘𝐵)
2825, 27ffvelrnd 6524 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℤ)
2928zcnd 11695 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3021, 24, 2, 29fprodsplit 14915 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∏𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹𝑘)))
31 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
3215zcnd 11695 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
33 fveq2 6353 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑥))
3433prodsn 14911 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹𝑘) = (𝐹𝑥))
3531, 32, 34syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹𝑘) = (𝐹𝑥))
3635oveq2d 6830 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · ∏𝑘 ∈ {𝑥} (𝐹𝑘)) = (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · (𝐹𝑥)))
3730, 36eqtrd 2794 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∏𝑘𝐴 (𝐹𝑘) = (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · (𝐹𝑥)))
3837breq2d 4816 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∥ ∏𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↔ (𝐹𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · (𝐹𝑥))))
3938ralbidva 3123 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∥ ∏𝑘𝐴 (𝐹𝑘) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∥ (∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥})(𝐹𝑘) · (𝐹𝑥))))
4018, 39mpbird 247 1 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∥ ∏𝑘𝐴 (𝐹𝑘))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050   ∖ cdif 3712   ∪ cun 3713   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  {csn 4321   class class class wbr 4804  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Fincfn 8123  ℂcc 10146   · cmul 10153  ℤcz 11589  ∏cprod 14854   ∥ cdvds 15202 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-prod 14855  df-dvds 15203 This theorem is referenced by:  fproddvdsd  15281  fmtnodvds  41984
 Copyright terms: Public domain W3C validator