MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodfac 14910
Description: Factorial using product notation. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
fprodfac (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem fprodfac
StepHypRef Expression
1 elnn0 11501 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
2 facnn 13266 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) = (seq1( · , I )‘𝐴))
3 vex 3354 . . . . . 6 𝑘 ∈ V
4 fvi 6399 . . . . . 6 (𝑘 ∈ V → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
53, 4mp1i 13 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → ( I ‘𝑘) = 𝑘)
6 elnnuz 11931 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ ↔ 𝐴 ∈ (ℤ‘1))
76biimpi 206 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ (ℤ‘1))
8 elfznn 12577 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℕ)
98nncnd 11242 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...𝐴) → 𝑘 ∈ ℂ)
109adantl 467 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝐴)) → 𝑘 ∈ ℂ)
115, 7, 10fprodser 14886 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 = (seq1( · , I )‘𝐴))
122, 11eqtr4d 2808 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
13 prod0 14880 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ 𝑘 = 1
1413eqcomi 2780 . . . 4 1 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝑘
15 fveq2 6333 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (!‘𝐴) = (!‘0))
16 fac0 13267 . . . . 5 (!‘0) = 1
1715, 16syl6eq 2821 . . . 4 (𝐴 = 0 → (!‘𝐴) = 1)
18 oveq2 6804 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (1...𝐴) = (1...0))
19 fz10 12569 . . . . . 6 (1...0) = ∅
2018, 19syl6eq 2821 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (1...𝐴) = ∅)
2120prodeq1d 14858 . . . 4 (𝐴 = 0 → ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝑘)
2214, 17, 213eqtr4a 2831 . . 3 (𝐴 = 0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
2312, 22jaoi 846 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
241, 23sylbi 207 1 (𝐴 ∈ ℕ0 → (!‘𝐴) = ∏𝑘 ∈ (1...𝐴)𝑘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  c0 4063   I cid 5157  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  0cc0 10142  1c1 10143   · cmul 10147  cn 11226  0cn0 11499  cuz 11893  ...cfz 12533  seqcseq 13008  !cfa 13264  cprod 14842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-prod 14843
This theorem is referenced by:  risefacfac  14972  fallfacval4  14980  prmolefac  15957  gausslemma2dlem1  25312  gausslemma2dlem6  25318  bcprod  31962  etransclem41  41006
  Copyright terms: Public domain W3C validator