Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodexp 40341
Description: Positive integer exponentiation of a finite product. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodexp.kph 𝑘𝜑
fprodexp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
fprodexp.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodexp.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fprodexp (𝜑 → ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝐴 𝐵𝑁))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodexp
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 14846 . . 3 (𝑥 = ∅ → ∏𝑘𝑥 (𝐵𝑁) = ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵𝑁))
2 prodeq1 14846 . . . 4 (𝑥 = ∅ → ∏𝑘𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
32oveq1d 6811 . . 3 (𝑥 = ∅ → (∏𝑘𝑥 𝐵𝑁) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵𝑁))
41, 3eqeq12d 2786 . 2 (𝑥 = ∅ → (∏𝑘𝑥 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑥 𝐵𝑁) ↔ ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵𝑁) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵𝑁)))
5 prodeq1 14846 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘𝑥 (𝐵𝑁) = ∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁))
6 prodeq1 14846 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ∏𝑘𝑥 𝐵 = ∏𝑘𝑦 𝐵)
76oveq1d 6811 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑘𝑥 𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁))
85, 7eqeq12d 2786 . 2 (𝑥 = 𝑦 → (∏𝑘𝑥 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑥 𝐵𝑁) ↔ ∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁)))
9 prodeq1 14846 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘𝑥 (𝐵𝑁) = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵𝑁))
10 prodeq1 14846 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ∏𝑘𝑥 𝐵 = ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
1110oveq1d 6811 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑘𝑥 𝐵𝑁) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵𝑁))
129, 11eqeq12d 2786 . 2 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (∏𝑘𝑥 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑥 𝐵𝑁) ↔ ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵𝑁) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵𝑁)))
13 prodeq1 14846 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘𝑥 (𝐵𝑁) = ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑁))
14 prodeq1 14846 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ∏𝑘𝑥 𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐵)
1514oveq1d 6811 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (∏𝑘𝑥 𝐵𝑁) = (∏𝑘𝐴 𝐵𝑁))
1613, 15eqeq12d 2786 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (∏𝑘𝑥 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑥 𝐵𝑁) ↔ ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝐴 𝐵𝑁)))
17 fprodexp.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1817nn0zd 11687 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
19 1exp 13096 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
2018, 19syl 17 . . . 4 (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
2120eqcomd 2777 . . 3 (𝜑 → 1 = (1↑𝑁))
22 prod0 14880 . . . 4 𝑘 ∈ ∅ (𝐵𝑁) = 1
2322a1i 11 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵𝑁) = 1)
24 prod0 14880 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 1
2524oveq1i 6806 . . . 4 (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵𝑁) = (1↑𝑁)
2625a1i 11 . . 3 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵𝑁) = (1↑𝑁))
2721, 23, 263eqtr4d 2815 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ (𝐵𝑁) = (∏𝑘 ∈ ∅ 𝐵𝑁))
28 fprodexp.kph . . . . . . . . 9 𝑘𝜑
29 nfv 1995 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
3028, 29nfan 1980 . . . . . . . 8 𝑘(𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)))
31 fprodexp.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3231adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
33 simpr 471 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
34 ssfi 8340 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
3532, 33, 34syl2anc 573 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
3635adantrr 696 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
37 simpll 750 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑘𝑦) → 𝜑)
3833sselda 3752 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
39 fprodexp.b . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4037, 38, 39syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
4140adantlrr 700 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℂ)
4230, 36, 41fprodclf 14929 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
43 simpl 468 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝜑)
44 simprr 756 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
4544eldifad 3735 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧𝐴)
46 nfv 1995 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑧𝐴
4728, 46nfan 1980 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝜑𝑧𝐴)
48 nfcsb1v 3698 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵
4948nfel1 2928 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
5047, 49nfim 1977 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
51 eleq1w 2833 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑧 → (𝑘𝐴𝑧𝐴))
5251anbi2d 614 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑧 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑧𝐴)))
53 csbeq1a 3691 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
5453eleq1d 2835 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑧 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
5552, 54imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑧 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
5650, 55, 39chvar 2424 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
5743, 45, 56syl2anc 573 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
5817adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
59 mulexp 13106 . . . . . . 7 ((∏𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵)↑𝑁) = ((∏𝑘𝑦 𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)))
6042, 57, 58, 59syl3anc 1476 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵)↑𝑁) = ((∏𝑘𝑦 𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)))
6160eqcomd 2777 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((∏𝑘𝑦 𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)) = ((∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵)↑𝑁))
6261adantr 466 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁)) → ((∏𝑘𝑦 𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)) = ((∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵)↑𝑁))
63 nfcv 2913 . . . . . . . 8 𝑘
64 nfcv 2913 . . . . . . . 8 𝑘𝑁
6548, 63, 64nfov 6825 . . . . . . 7 𝑘(𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)
6644eldifbd 3736 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ¬ 𝑧𝑦)
6717ad2antrr 705 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6840, 67expcld 13215 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑘𝑦) → (𝐵𝑁) ∈ ℂ)
6968adantlrr 700 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → (𝐵𝑁) ∈ ℂ)
7053oveq1d 6811 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑧 → (𝐵𝑁) = (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁))
7157, 58expcld 13215 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁) ∈ ℂ)
7230, 65, 36, 44, 66, 69, 70, 71fprodsplitsn 14926 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)))
7372adantr 466 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)))
74 oveq1 6803 . . . . . 6 (∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁) → (∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)) = ((∏𝑘𝑦 𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)))
7574adantl 467 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁)) → (∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)) = ((∏𝑘𝑦 𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)))
7673, 75eqtrd 2805 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵𝑁) = ((∏𝑘𝑦 𝐵𝑁) · (𝑧 / 𝑘𝐵𝑁)))
7730, 48, 36, 44, 66, 41, 53, 57fprodsplitsn 14926 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵))
7877adantr 466 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵))
7978oveq1d 6811 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁)) → (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵𝑁) = ((∏𝑘𝑦 𝐵 · 𝑧 / 𝑘𝐵)↑𝑁))
8062, 76, 793eqtr4d 2815 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁)) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵𝑁) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵𝑁))
8180ex 397 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (∏𝑘𝑦 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝑦 𝐵𝑁) → ∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})(𝐵𝑁) = (∏𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵𝑁)))
824, 8, 12, 16, 27, 81, 31findcard2d 8362 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 (𝐵𝑁) = (∏𝑘𝐴 𝐵𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wnf 1856  wcel 2145  csb 3682  cdif 3720  cun 3721  wss 3723  c0 4063  {csn 4317  (class class class)co 6796  Fincfn 8113  cc 10140  1c1 10143   · cmul 10147  0cn0 11499  cz 11584  cexp 13067  cprod 14842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-prod 14843
This theorem is referenced by:  etransclem35  41000
  Copyright terms: Public domain W3C validator