MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fproddvdsd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fproddvdsd 15282
Description: A finite product of integers is divisible by any of its factors. (Contributed by AV, 14-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fproddvdsd.f (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fproddvdsd.s (𝜑𝐴 ⊆ ℤ)
Assertion
Ref Expression
fproddvdsd (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥 ∥ ∏𝑘𝐴 𝑘)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem fproddvdsd
StepHypRef Expression
1 fproddvdsd.f . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 fproddvdsd.s . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℤ)
3 f1oi 6337 . . . 4 ( I ↾ ℤ):ℤ–1-1-onto→ℤ
4 f1of 6300 . . . 4 (( I ↾ ℤ):ℤ–1-1-onto→ℤ → ( I ↾ ℤ):ℤ⟶ℤ)
53, 4mp1i 13 . . 3 (𝜑 → ( I ↾ ℤ):ℤ⟶ℤ)
61, 2, 5fprodfvdvdsd 15281 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑥) ∥ ∏𝑘𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑘))
72sselda 3745 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℤ)
8 fvresi 6605 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → (( I ↾ ℤ)‘𝑥) = 𝑥)
97, 8syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (( I ↾ ℤ)‘𝑥) = 𝑥)
109eqcomd 2767 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 = (( I ↾ ℤ)‘𝑥))
112sseld 3744 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑘 ∈ ℤ))
1211adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑘𝐴𝑘 ∈ ℤ))
1312imp 444 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
14 fvresi 6605 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℤ → (( I ↾ ℤ)‘𝑘) = 𝑘)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → (( I ↾ ℤ)‘𝑘) = 𝑘)
1615eqcomd 2767 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 = (( I ↾ ℤ)‘𝑘))
1716prodeq2dv 14873 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → ∏𝑘𝐴 𝑘 = ∏𝑘𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑘))
1810, 17breq12d 4818 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑥 ∥ ∏𝑘𝐴 𝑘 ↔ (( I ↾ ℤ)‘𝑥) ∥ ∏𝑘𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑘)))
1918ralbidva 3124 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 𝑥 ∥ ∏𝑘𝐴 𝑘 ↔ ∀𝑥𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑥) ∥ ∏𝑘𝐴 (( I ↾ ℤ)‘𝑘)))
206, 19mpbird 247 1 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑥 ∥ ∏𝑘𝐴 𝑘)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wral 3051  wss 3716   class class class wbr 4805   I cid 5174  cres 5269  wf 6046  1-1-ontowf1o 6049  cfv 6050  Fincfn 8124  cz 11590  cprod 14855  cdvds 15203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-exp 13076  df-hash 13333  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-clim 14439  df-prod 14856  df-dvds 15204
This theorem is referenced by:  absproddvds  15553
  Copyright terms: Public domain W3C validator