Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fproddivf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fproddivf 14915
 Description: The quotient of two finite products. A version of fproddiv 14888 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fproddivf.kph 𝑘𝜑
fproddivf.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fproddivf.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fproddivf.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
fproddivf.ne0 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
fproddivf (𝜑 → ∏𝑘𝐴 (𝐵 / 𝐶) = (∏𝑘𝐴 𝐵 / ∏𝑘𝐴 𝐶))
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fproddivf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbeq1a 3681 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
2 csbeq1a 3681 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗𝐶 = 𝑗 / 𝑘𝐶)
31, 2oveq12d 6829 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 / 𝐶) = (𝑗 / 𝑘𝐵 / 𝑗 / 𝑘𝐶))
4 nfcv 2900 . . . 4 𝑗𝐴
5 nfcv 2900 . . . 4 𝑘𝐴
6 nfcv 2900 . . . 4 𝑗(𝐵 / 𝐶)
7 nfcsb1v 3688 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
8 nfcv 2900 . . . . 5 𝑘 /
9 nfcsb1v 3688 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶
107, 8, 9nfov 6837 . . . 4 𝑘(𝑗 / 𝑘𝐵 / 𝑗 / 𝑘𝐶)
113, 4, 5, 6, 10cbvprod 14842 . . 3 𝑘𝐴 (𝐵 / 𝐶) = ∏𝑗𝐴 (𝑗 / 𝑘𝐵 / 𝑗 / 𝑘𝐶)
1211a1i 11 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 (𝐵 / 𝐶) = ∏𝑗𝐴 (𝑗 / 𝑘𝐵 / 𝑗 / 𝑘𝐶))
13 fproddivf.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
14 fproddivf.kph . . . . . 6 𝑘𝜑
15 nfvd 1991 . . . . . 6 (𝜑 → Ⅎ𝑘 𝑗𝐴)
1614, 15nfan1 2213 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗𝐴)
17 nfcv 2900 . . . . . 6 𝑘
187, 17nfel 2913 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
1916, 18nfim 1972 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
20 eleq1w 2820 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐴𝑗𝐴))
2120anbi2d 742 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑗𝐴)))
221eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
2321, 22imbi12d 333 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
24 fproddivf.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2519, 23, 24chvar 2405 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
269, 17nfel 2913 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
2716, 26nfim 1972 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
282eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
2921, 28imbi12d 333 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)))
30 fproddivf.c . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
3127, 29, 30chvar 2405 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
32 nfcv 2900 . . . . . 6 𝑘0
339, 32nfne 3030 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 ≠ 0
3416, 33nfim 1972 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ≠ 0)
352neeq1d 2989 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ≠ 0 ↔ 𝑗 / 𝑘𝐶 ≠ 0))
3621, 35imbi12d 333 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ≠ 0) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ≠ 0)))
37 fproddivf.ne0 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
3834, 36, 37chvar 2405 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ≠ 0)
3913, 25, 31, 38fproddiv 14888 . 2 (𝜑 → ∏𝑗𝐴 (𝑗 / 𝑘𝐵 / 𝑗 / 𝑘𝐶) = (∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 / ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶))
40 nfcv 2900 . . . . . 6 𝑗𝐵
411, 4, 5, 40, 7cbvprod 14842 . . . . 5 𝑘𝐴 𝐵 = ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵
4241eqcomi 2767 . . . 4 𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐵
4342a1i 11 . . 3 (𝜑 → ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 = ∏𝑘𝐴 𝐵)
442equcoms 2100 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘𝐶 = 𝑗 / 𝑘𝐶)
4544eqcomd 2764 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 = 𝐶)
46 nfcv 2900 . . . . 5 𝑗𝐶
4745, 5, 4, 9, 46cbvprod 14842 . . . 4 𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 = ∏𝑘𝐴 𝐶
4847a1i 11 . . 3 (𝜑 → ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 = ∏𝑘𝐴 𝐶)
4943, 48oveq12d 6829 . 2 (𝜑 → (∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 / ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶) = (∏𝑘𝐴 𝐵 / ∏𝑘𝐴 𝐶))
5012, 39, 493eqtrd 2796 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 (𝐵 / 𝐶) = (∏𝑘𝐴 𝐵 / ∏𝑘𝐴 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1630  Ⅎwnf 1855   ∈ wcel 2137   ≠ wne 2930  ⦋csb 3672  (class class class)co 6811  Fincfn 8119  ℂcc 10124  0cc0 10126   / cdiv 10874  ∏cprod 14832 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-sup 8511  df-oi 8578  df-card 8953  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-rp 12024  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-seq 12994  df-exp 13053  df-hash 13310  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-clim 14416  df-prod 14833 This theorem is referenced by:  fprodle  14924
 Copyright terms: Public domain W3C validator