Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fprodcncf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodcncf 40432
Description: The finite product of continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodcncf.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
fprodcncf.b (𝜑𝐵 ∈ Fin)
fprodcncf.c ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
fprodcncf.cn ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑥𝐴𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
fprodcncf (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝐵 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fprodcncf
Dummy variables 𝑢 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodeq1 14683 . . . 4 (𝑤 = ∅ → ∏𝑘𝑤 𝐶 = ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶)
21mpteq2dv 4778 . . 3 (𝑤 = ∅ → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑤 𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶))
32eleq1d 2715 . 2 (𝑤 = ∅ → ((𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑤 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ) ↔ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)))
4 prodeq1 14683 . . . 4 (𝑤 = 𝑧 → ∏𝑘𝑤 𝐶 = ∏𝑘𝑧 𝐶)
54mpteq2dv 4778 . . 3 (𝑤 = 𝑧 → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑤 𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶))
65eleq1d 2715 . 2 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑤 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ) ↔ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)))
7 prodeq1 14683 . . . 4 (𝑤 = (𝑧 ∪ {𝑦}) → ∏𝑘𝑤 𝐶 = ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶)
87mpteq2dv 4778 . . 3 (𝑤 = (𝑧 ∪ {𝑦}) → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑤 𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶))
98eleq1d 2715 . 2 (𝑤 = (𝑧 ∪ {𝑦}) → ((𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑤 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ) ↔ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)))
10 prodeq1 14683 . . . 4 (𝑤 = 𝐵 → ∏𝑘𝑤 𝐶 = ∏𝑘𝐵 𝐶)
1110mpteq2dv 4778 . . 3 (𝑤 = 𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑤 𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝐵 𝐶))
1211eleq1d 2715 . 2 (𝑤 = 𝐵 → ((𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑤 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ) ↔ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝐵 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)))
13 prod0 14717 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 1
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 1)
1514mpteq2dv 4778 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ 1))
16 fprodcncf.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
17 1cnd 10094 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
18 ssid 3657 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
1918a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
2016, 17, 19constcncfg 40402 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ 1) ∈ (𝐴cn→ℂ))
2115, 20eqeltrd 2730 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
22 nfcv 2793 . . . . . 6 𝑢𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶
23 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑥(𝑧 ∪ {𝑦})
24 nfcsb1v 3582 . . . . . . 7 𝑥𝑢 / 𝑥𝐶
2523, 24nfcprod 14685 . . . . . 6 𝑥𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝑢 / 𝑥𝐶
26 csbeq1a 3575 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑢𝐶 = 𝑢 / 𝑥𝐶)
2726adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑢𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})) → 𝐶 = 𝑢 / 𝑥𝐶)
2827prodeq2dv 14697 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑢 → ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶 = ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝑢 / 𝑥𝐶)
2922, 25, 28cbvmpt 4782 . . . . 5 (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) = (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝑢 / 𝑥𝐶)
3029a1i 11 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) = (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝑢 / 𝑥𝐶))
31 nfv 1883 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴)
32 nfcsb1v 3582 . . . . . . . 8 𝑘𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶
33 fprodcncf.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
3433adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
35 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧𝐵)
36 ssfi 8221 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ Fin)
3734, 35, 36syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ Fin)
3837adantrr 753 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) → 𝑧 ∈ Fin)
3938adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑧 ∈ Fin)
40 vex 3234 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
4140a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑦 ∈ V)
42 eldifn 3766 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐵𝑧) → ¬ 𝑦𝑧)
4342ad2antll 765 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) → ¬ 𝑦𝑧)
4443adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) → ¬ 𝑦𝑧)
45 simplll 813 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑘𝑧) → 𝜑)
46 simplr 807 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑘𝑧) → 𝑢𝐴)
4735adantrr 753 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) → 𝑧𝐵)
4847ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑘𝑧) → 𝑧𝐵)
49 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑘𝑧) → 𝑘𝑧)
5048, 49sseldd 3637 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑘𝑧) → 𝑘𝐵)
51 nfv 1883 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝜑𝑢𝐴𝑘𝐵)
5224nfel1 2808 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ
5351, 52nfim 1865 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝜑𝑢𝐴𝑘𝐵) → 𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
54 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑢 → (𝑥𝐴𝑢𝐴))
55543anbi2d 1444 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑢 → ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) ↔ (𝜑𝑢𝐴𝑘𝐵)))
5626eleq1d 2715 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑢 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ))
5755, 56imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑢 → (((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑢𝐴𝑘𝐵) → 𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)))
58 fprodcncf.c . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
5953, 57, 58chvar 2298 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑢𝐴𝑘𝐵) → 𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
6045, 46, 50, 59syl3anc 1366 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) ∧ 𝑘𝑧) → 𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
61 csbeq1a 3575 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑦𝑢 / 𝑥𝐶 = 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶)
62 simpll 805 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) → 𝜑)
63 eldifi 3765 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝐵𝑧) → 𝑦𝐵)
6463ad2antll 765 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) → 𝑦𝐵)
6564adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑦𝐵)
66 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑢𝐴)
67 simpll 805 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑢𝐴) → 𝜑)
68 simpr 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑢𝐴)
69 simplr 807 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑦𝐵)
70 nfv 1883 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝜑𝑢𝐴𝑦𝐵)
71 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘
7232, 71nfel 2806 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ
7370, 72nfim 1865 . . . . . . . . . . 11 𝑘((𝜑𝑢𝐴𝑦𝐵) → 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
74 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑦 → (𝑘𝐵𝑦𝐵))
75743anbi3d 1445 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑦 → ((𝜑𝑢𝐴𝑘𝐵) ↔ (𝜑𝑢𝐴𝑦𝐵)))
7661eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑦 → (𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ))
7775, 76imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑦 → (((𝜑𝑢𝐴𝑘𝐵) → 𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑢𝐴𝑦𝐵) → 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)))
7873, 77, 59chvar 2298 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢𝐴𝑦𝐵) → 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
7967, 68, 69, 78syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝐵) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
8062, 65, 66, 79syl21anc 1365 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) → 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶 ∈ ℂ)
8131, 32, 39, 41, 44, 60, 61, 80fprodsplitsn 14764 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ 𝑢𝐴) → ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝑢 / 𝑥𝐶 = (∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶 · 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶))
8281mpteq2dva 4777 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) → (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝑢 / 𝑥𝐶) = (𝑢𝐴 ↦ (∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶 · 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶)))
8382adantr 480 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝑢 / 𝑥𝐶) = (𝑢𝐴 ↦ (∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶 · 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶)))
84 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑢𝑘𝑧 𝐶
85 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑧
8685, 24nfcprod 14685 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶
8726adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑢𝑘𝑧) → 𝐶 = 𝑢 / 𝑥𝐶)
8887prodeq2dv 14697 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑢 → ∏𝑘𝑧 𝐶 = ∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶)
8984, 86, 88cbvmpt 4782 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) = (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶)
9089eqcomi 2660 . . . . . . . . 9 (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶)
9190a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ) → (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶))
92 id 22 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ) → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
9391, 92eqeltrd 2730 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ) → (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
9493adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
95 nfv 1883 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝜑𝑦𝐵)
96 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝐴
9796, 32nfmpt 4779 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝑢𝐴𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶)
98 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝐴cn→ℂ)
9997, 98nfel 2806 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝑢𝐴𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)
10095, 99nfim 1865 . . . . . . . . 9 𝑘((𝜑𝑦𝐵) → (𝑢𝐴𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
10174anbi2d 740 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑦 → ((𝜑𝑘𝐵) ↔ (𝜑𝑦𝐵)))
10261adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 = 𝑦𝑢𝐴) → 𝑢 / 𝑥𝐶 = 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶)
103102mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑦 → (𝑢𝐴𝑢 / 𝑥𝐶) = (𝑢𝐴𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶))
104103eleq1d 2715 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑦 → ((𝑢𝐴𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ) ↔ (𝑢𝐴𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)))
105101, 104imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑦 → (((𝜑𝑘𝐵) → (𝑢𝐴𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)) ↔ ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑢𝐴𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))))
106 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑢𝐶
107106, 24, 26cbvmpt 4782 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑢𝐴𝑢 / 𝑥𝐶)
108 fprodcncf.cn . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑥𝐴𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
109107, 108syl5eqelr 2735 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑢𝐴𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
110100, 105, 109chvar 2298 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐵) → (𝑢𝐴𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
11164, 110syldan 486 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) → (𝑢𝐴𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
112111adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → (𝑢𝐴𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
11394, 112mulcncf 23261 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → (𝑢𝐴 ↦ (∏𝑘𝑧 𝑢 / 𝑥𝐶 · 𝑦 / 𝑘𝑢 / 𝑥𝐶)) ∈ (𝐴cn→ℂ))
11483, 113eqeltrd 2730 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → (𝑢𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝑢 / 𝑥𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
11530, 114eqeltrd 2730 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) ∧ (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)) → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
116115ex 449 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐵𝑦 ∈ (𝐵𝑧))) → ((𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝑧 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ) → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘 ∈ (𝑧 ∪ {𝑦})𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ)))
1173, 6, 9, 12, 21, 116, 33findcard2d 8243 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ∏𝑘𝐵 𝐶) ∈ (𝐴cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  csb 3566  cdif 3604  cun 3605  wss 3607  c0 3948  {csn 4210  cmpt 4762  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  1c1 9975   · cmul 9979  cprod 14679  cnccncf 22726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-prod 14680  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728
This theorem is referenced by:  etransclem18  40787  etransclem34  40803  etransclem46  40815
  Copyright terms: Public domain W3C validator