MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodcl2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodcl2lem 14887
Description: Finite product closure lemma. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodcllem.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
fprodcllem.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
fprodcllem.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodcllem.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
fprodcl2lem.5 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
fprodcl2lem (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑘,𝑥,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodcl2lem
Dummy variables 𝑓 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodcl2lem.5 . . . 4 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
21a1d 25 . . 3 (𝜑 → (¬ ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆𝐴 ≠ ∅))
32necon4bd 2963 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆))
4 prodfc 14882 . . . . . . 7 𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = ∏𝑘𝐴 𝐵
5 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑓𝑥) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑥)))
6 simprl 754 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
7 simprr 756 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
8 fprodcllem.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
98adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑆 ⊆ ℂ)
10 fprodcllem.4 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
119, 10sseldd 3753 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
12 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
1311, 12fmptd 6527 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
1413ffvelrnda 6502 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) ∈ ℂ)
1514adantlr 694 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑚𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) ∈ ℂ)
16 f1of 6278 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
1716ad2antll 708 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴)
18 fvco3 6417 . . . . . . . . 9 ((𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑥) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑥)))
1917, 18sylan 569 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑥) = ((𝑘𝐴𝐵)‘(𝑓𝑥)))
205, 6, 7, 15, 19fprod 14878 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑚𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑚) = (seq1( · , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
214, 20syl5eqr 2819 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (seq1( · , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)))
22 nnuz 11925 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
236, 22syl6eleq 2860 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘1))
2410, 12fmptd 6527 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴𝑆)
2524adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (𝑘𝐴𝐵):𝐴𝑆)
26 fco 6198 . . . . . . . . 9 (((𝑘𝐴𝐵):𝐴𝑆𝑓:(1...(♯‘𝐴))⟶𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐴))⟶𝑆)
2725, 17, 26syl2anc 573 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝐴))⟶𝑆)
2827ffvelrnda 6502 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → (((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓)‘𝑥) ∈ 𝑆)
29 fprodcllem.2 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
3029adantlr 694 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
3123, 28, 30seqcl 13028 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → (seq1( · , ((𝑘𝐴𝐵) ∘ 𝑓))‘(♯‘𝐴)) ∈ 𝑆)
3221, 31eqeltrd 2850 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆)
3332expr 444 . . . 4 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆))
3433exlimdv 2013 . . 3 ((𝜑 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ) → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆))
3534expimpd 441 . 2 (𝜑 → (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆))
36 fprodcllem.3 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
37 fz1f1o 14649 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
3836, 37syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
393, 35, 38mpjaod 849 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  wo 836   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wne 2943  wss 3723  c0 4063  cmpt 4863  ccom 5253  wf 6027  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  (class class class)co 6793  Fincfn 8109  cc 10136  1c1 10139   · cmul 10143  cn 11222  cuz 11888  ...cfz 12533  seqcseq 13008  chash 13321  cprod 14842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-prod 14843
This theorem is referenced by:  fprodcllem  14888
  Copyright terms: Public domain W3C validator