Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fperiodmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fperiodmul 40017
Description: A function with period T is also periodic with period multiple of T. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fperiodmul.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fperiodmul.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
fperiodmul.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
fperiodmul.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fperiodmul.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
fperiodmul (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑁   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem fperiodmul
StepHypRef Expression
1 fperiodmul.f . . . 4 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
21adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
3 fperiodmul.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
43adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℝ)
5 simpr 479 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 fperiodmul.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
76adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
8 fperiodmul.per . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
98adantlr 753 . . 3 (((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
102, 4, 5, 7, 9fperiodmullem 40016 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
116recnd 10260 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
12 fperiodmul.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1312zcnd 11675 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
143recnd 10260 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
1513, 14mulcld 10252 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 · 𝑇) ∈ ℂ)
1611, 15subnegd 10591 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 − -(𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 + (𝑁 · 𝑇)))
1713, 14mulneg1d 10675 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-𝑁 · 𝑇) = -(𝑁 · 𝑇))
1817eqcomd 2766 . . . . . . 7 (𝜑 → -(𝑁 · 𝑇) = (-𝑁 · 𝑇))
1918oveq2d 6829 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 − -(𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)))
2016, 19eqtr3d 2796 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + (𝑁 · 𝑇)) = (𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)))
2120fveq2d 6356 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − (-𝑁 · 𝑇))))
2221adantr 472 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − (-𝑁 · 𝑇))))
231adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
243adantr 472 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℝ)
25 znnn0nn 11681 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ)
2612, 25sylan 489 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ)
2726nnnn0d 11543 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℕ0)
286adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
2912adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
3029zred 11674 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
3130renegcld 10649 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℝ)
3231, 24remulcld 10262 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑇) ∈ ℝ)
3328, 32resubcld 10650 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) ∈ ℝ)
348adantlr 753 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
3523, 24, 27, 33, 34fperiodmullem 40016 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) + (-𝑁 · 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 − (-𝑁 · 𝑇))))
3628recnd 10260 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℂ)
3730recnd 10260 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
3837negcld 10571 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℂ)
3924recnd 10260 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑇 ∈ ℂ)
4038, 39mulcld 10252 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (-𝑁 · 𝑇) ∈ ℂ)
4136, 40npcand 10588 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) + (-𝑁 · 𝑇)) = 𝑋)
4241fveq2d 6356 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘((𝑋 − (-𝑁 · 𝑇)) + (-𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
4322, 35, 423eqtr2d 2800 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
4410, 43pm2.61dan 867 1 (𝜑 → (𝐹‘(𝑋 + (𝑁 · 𝑇))) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127   + caddc 10131   · cmul 10133  cmin 10458  -cneg 10459  cn 11212  0cn0 11484  cz 11569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570
This theorem is referenced by:  fourierdlem89  40915  fourierdlem90  40916  fourierdlem91  40917  fourierdlem94  40920  fourierdlem97  40923  fourierdlem113  40939
  Copyright terms: Public domain W3C validator