Theorem fovrnd 6848

Description: An operation's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fovrnd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
fovrnd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
fovrnd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
fovrnd	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovrnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovrnd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶)
2		fovrnd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑅)
3		fovrnd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
4		fovrn 6846	. 2 ⊢ ((𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1366	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2030   × cxp 5141  ⟶wf 5922  (class class class)co 6690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-ov 6693

This theorem is referenced by:  eroveu  7885  fseqenlem1  8885  rlimcn2  14365  homarel  16733  curf1cl  16915  curf2cl  16918  hofcllem  16945  yonedalem3b  16966  gasubg  17781  gacan  17784  gapm  17785  gastacos  17789  orbsta  17792  galactghm  17869  sylow1lem2  18060  sylow2alem2  18079  sylow3lem1  18088  efgcpbllemb  18214  frgpuplem  18231  frlmbas3  20163  mamucl  20255  mamuass  20256  mamudi  20257  mamudir  20258  mamuvs1  20259  mamuvs2  20260  mamulid  20295  mamurid  20296  mamutpos  20312  matgsumcl  20314  mavmulcl  20401  mavmulass  20403  mdetleib2  20442  mdetf  20449  mdetdiaglem  20452  mdetrlin  20456  mdetrsca  20457  mdetralt  20462  mdetunilem7  20472  maducoeval2  20494  madugsum  20497  madurid  20498  tsmsxplem2  22004  isxmet2d  22179  ismet2  22185  prdsxmetlem  22220  comet  22365  ipcn  23091  ovoliunlem2  23317  itg1addlem4  23511  itg1addlem5  23512  mbfi1fseqlem5  23531  limccnp2  23701  midcl  25714  pstmxmet  30068  cvmlift2lem9  31419  isbnd3  33713  prdsbnd  33722  iscringd  33927  rmxycomplete  37799  rmxyadd  37803