Theorem fovcl 6807

Description: Closure law for an operation. (Contributed by NM, 19-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
fovcl.1	⊢ 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶

Assertion

Ref	Expression
fovcl	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem fovcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fovcl.1	. . 3 ⊢ 𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶
2		ffnov 6806	. . . 4 ⊢ (𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 ↔ (𝐹 Fn (𝑅 × 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶))
3	2	simprbi 479	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝑅 × 𝑆)⟶𝐶 → ∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶)
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶
5		oveq1 6697	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐹𝑦) = (𝐴𝐹𝑦))
6	5	eleq1d 2715	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶 ↔ (𝐴𝐹𝑦) ∈ 𝐶))
7		oveq2 6698	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴𝐹𝑦) = (𝐴𝐹𝐵))
8	7	eleq1d 2715	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴𝐹𝑦) ∈ 𝐶 ↔ (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶))
9	6, 8	rspc2v 3353	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑅 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥𝐹𝑦) ∈ 𝐶 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶))
10	4, 9	mpi 20	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941   × cxp 5141   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  (class class class)co 6690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-fv 5934  df-ov 6693

This theorem is referenced by:  addclnq  9805  mulclnq  9807  adderpq  9816  mulerpq  9817  distrnq  9821  axaddcl  10010  axmulcl  10012  xaddcl  12108  xmulcl  12141  elfzoelz  12509  addcnlem  22714  sgmcl  24917  hvaddcl  27997  hvmulcl  27998  hicl  28065  hhssabloilem  28246  rmxynorm  37800  rmxyneg  37802  rmxy1  37804  rmxy0  37805  rmxp1  37814  rmyp1  37815  rmxm1  37816  rmym1  37817  rmxluc  37818  rmyluc  37819  rmyluc2  37820  rmxdbl  37821  rmydbl  37822  rmxypos  37831  ltrmynn0  37832  ltrmxnn0  37833  lermxnn0  37834  rmxnn  37835  ltrmy  37836  rmyeq0  37837  rmyeq  37838  lermy  37839  rmynn  37840  rmynn0  37841  rmyabs  37842  jm2.24nn  37843  jm2.17a  37844  jm2.17b  37845  jm2.17c  37846  jm2.24  37847  rmygeid  37848  jm2.18  37872  jm2.19lem1  37873  jm2.19lem2  37874  jm2.19  37877  jm2.22  37879  jm2.23  37880  jm2.20nn  37881  jm2.25  37883  jm2.26a  37884  jm2.26lem3  37885  jm2.26  37886  jm2.15nn0  37887  jm2.16nn0  37888  jm2.27a  37889  jm2.27c  37891  rmydioph  37898  rmxdiophlem  37899  jm3.1lem1  37901  jm3.1  37904  expdiophlem1  37905