Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierswlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierswlem 40210
Description: The Fourier series for the square wave 𝐹 converges to 𝑌, a simpler expression for this special case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierswlem.t 𝑇 = (2 · π)
fourierswlem.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
fourierswlem.x 𝑋 ∈ ℝ
fourierswlem.y 𝑌 = if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋))
Assertion
Ref Expression
fourierswlem 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem fourierswlem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → 2 ∥ (𝑋 / π))
2 2z 11394 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
32a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → 2 ∈ ℤ)
4 fourierswlem.x . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 ∈ ℝ
5 pirp 24194 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℝ+
6 mod0 12658 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → ((𝑋 mod π) = 0 ↔ (𝑋 / π) ∈ ℤ))
74, 5, 6mp2an 707 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 mod π) = 0 ↔ (𝑋 / π) ∈ ℤ)
87biimpi 206 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 mod π) = 0 → (𝑋 / π) ∈ ℤ)
98adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (𝑋 / π) ∈ ℤ)
10 divides 14966 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑋 / π) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑋 / π) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)))
113, 9, 10syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (2 ∥ (𝑋 / π) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)))
121, 11mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π))
13 2cnd 11078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
14 picn 24192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 π ∈ ℂ
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → π ∈ ℂ)
16 zcn 11367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
1713, 15, 16mulassd 10048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → ((2 · π) · 𝑘) = (2 · (π · 𝑘)))
1815, 16mulcld 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → (π · 𝑘) ∈ ℂ)
1913, 18mulcomd 10046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → (2 · (π · 𝑘)) = ((π · 𝑘) · 2))
2017, 19eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → ((2 · π) · 𝑘) = ((π · 𝑘) · 2))
2120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → ((2 · π) · 𝑘) = ((π · 𝑘) · 2))
2215, 16, 13mulassd 10048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → ((π · 𝑘) · 2) = (π · (𝑘 · 2)))
2322adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → ((π · 𝑘) · 2) = (π · (𝑘 · 2)))
24 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 · 2) = (𝑋 / π) → (𝑘 · 2) = (𝑋 / π))
2524eqcomd 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 · 2) = (𝑋 / π) → (𝑋 / π) = (𝑘 · 2))
2625adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → (𝑋 / π) = (𝑘 · 2))
274recni 10037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑋 ∈ ℂ
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → 𝑋 ∈ ℂ)
2914a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → π ∈ ℂ)
3016adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → 𝑘 ∈ ℂ)
31 2cnd 11078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → 2 ∈ ℂ)
3230, 31mulcld 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → (𝑘 · 2) ∈ ℂ)
33 pire 24191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 π ∈ ℝ
34 pipos 24193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < π
3533, 34gt0ne0ii 10549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 π ≠ 0
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → π ≠ 0)
3728, 29, 32, 36divmuld 10808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → ((𝑋 / π) = (𝑘 · 2) ↔ (π · (𝑘 · 2)) = 𝑋))
3826, 37mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → (π · (𝑘 · 2)) = 𝑋)
3921, 23, 383eqtrrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → 𝑋 = ((2 · π) · 𝑘))
40 fourierswlem.t . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇 = (2 · π)
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → 𝑇 = (2 · π))
4239, 41oveq12d 6653 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → (𝑋 / 𝑇) = (((2 · π) · 𝑘) / (2 · π)))
4313, 15mulcld 10045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → (2 · π) ∈ ℂ)
44 2ne0 11098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ≠ 0
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
4635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → π ≠ 0)
4713, 15, 45, 46mulne0d 10664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → (2 · π) ≠ 0)
4816, 43, 47divcan3d 10791 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · π) · 𝑘) / (2 · π)) = 𝑘)
4948adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → (((2 · π) · 𝑘) / (2 · π)) = 𝑘)
5042, 49eqtrd 2654 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → (𝑋 / 𝑇) = 𝑘)
51 simpl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → 𝑘 ∈ ℤ)
5250, 51eqeltrd 2699 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π)) → (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ)
5352ex 450 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · 2) = (𝑋 / π) → (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ))
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · 2) = (𝑋 / π) → (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ)))
5554rexlimdv 3026 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = (𝑋 / π) → (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ))
5612, 55mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ)
57 2re 11075 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
5857, 33remulcli 10039 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℝ
5940, 58eqeltri 2695 . . . . . . . . . 10 𝑇 ∈ ℝ
60 2pos 11097 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
6157, 33, 60, 34mulgt0ii 10155 . . . . . . . . . . 11 0 < (2 · π)
6261, 40breqtrri 4671 . . . . . . . . . 10 0 < 𝑇
6359, 62elrpii 11820 . . . . . . . . 9 𝑇 ∈ ℝ+
64 mod0 12658 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → ((𝑋 mod 𝑇) = 0 ↔ (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ))
654, 63, 64mp2an 707 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 ↔ (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ)
6656, 65sylibr 224 . . . . . . 7 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (𝑋 mod 𝑇) = 0)
6766orcd 407 . . . . . 6 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ 2 ∥ (𝑋 / π)) → ((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∨ (𝑋 mod 𝑇) = π))
68 odd2np1 15046 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 / π) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝑋 / π) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)))
697, 68sylbi 207 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod π) = 0 → (¬ 2 ∥ (𝑋 / π) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)))
7069biimpa 501 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ ¬ 2 ∥ (𝑋 / π)) → ∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π))
7113, 16mulcld 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
7271adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
73 1cnd 10041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → 1 ∈ ℂ)
7414a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → π ∈ ℂ)
7572, 73, 74adddird 10050 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (((2 · 𝑘) + 1) · π) = (((2 · 𝑘) · π) + (1 · π)))
7613, 16mulcomd 10046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → (2 · 𝑘) = (𝑘 · 2))
7776oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → ((2 · 𝑘) · π) = ((𝑘 · 2) · π))
7816, 13, 15mulassd 10048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · 2) · π) = (𝑘 · (2 · π)))
7940eqcomi 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 · π) = 𝑇
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℤ → (2 · π) = 𝑇)
8180oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · (2 · π)) = (𝑘 · 𝑇))
8277, 78, 813eqtrd 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → ((2 · 𝑘) · π) = (𝑘 · 𝑇))
8314mulid2i 10028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 · π) = π
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → (1 · π) = π)
8582, 84oveq12d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · 𝑘) · π) + (1 · π)) = ((𝑘 · 𝑇) + π))
8685adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (((2 · 𝑘) · π) + (1 · π)) = ((𝑘 · 𝑇) + π))
8740, 43syl5eqel 2703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑇 ∈ ℂ)
8816, 87mulcld 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℂ)
8988, 15addcomd 10223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 · 𝑇) + π) = (π + (𝑘 · 𝑇)))
9089adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → ((𝑘 · 𝑇) + π) = (π + (𝑘 · 𝑇)))
9175, 86, 903eqtrrd 2659 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (π + (𝑘 · 𝑇)) = (((2 · 𝑘) + 1) · π))
92 peano2cn 10193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · 𝑘) ∈ ℂ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
9371, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℤ → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
9493, 15mulcomd 10046 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · 𝑘) + 1) · π) = (π · ((2 · 𝑘) + 1)))
9594adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (((2 · 𝑘) + 1) · π) = (π · ((2 · 𝑘) + 1)))
96 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π) → ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π))
9796eqcomd 2626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π) → (𝑋 / π) = ((2 · 𝑘) + 1))
9897adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (𝑋 / π) = ((2 · 𝑘) + 1))
9927a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → 𝑋 ∈ ℂ)
10093adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℂ)
10135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → π ≠ 0)
10299, 74, 100, 101divmuld 10808 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → ((𝑋 / π) = ((2 · 𝑘) + 1) ↔ (π · ((2 · 𝑘) + 1)) = 𝑋))
10398, 102mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (π · ((2 · 𝑘) + 1)) = 𝑋)
10491, 95, 1033eqtrrd 2659 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → 𝑋 = (π + (𝑘 · 𝑇)))
105104oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (𝑋 mod 𝑇) = ((π + (𝑘 · 𝑇)) mod 𝑇))
106 modcyc 12688 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℤ) → ((π + (𝑘 · 𝑇)) mod 𝑇) = (π mod 𝑇))
10733, 63, 106mp3an12 1412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → ((π + (𝑘 · 𝑇)) mod 𝑇) = (π mod 𝑇))
108107adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → ((π + (𝑘 · 𝑇)) mod 𝑇) = (π mod 𝑇))
10933a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → π ∈ ℝ)
11063a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
111 0re 10025 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
112111, 33, 34ltleii 10145 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ π
113112a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → 0 ≤ π)
114 2timesgt 39313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
1155, 114ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 π < (2 · π)
116115, 40breqtrri 4671 . . . . . . . . . . . . . 14 π < 𝑇
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → π < 𝑇)
118 modid 12678 . . . . . . . . . . . . 13 (((π ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ π ∧ π < 𝑇)) → (π mod 𝑇) = π)
119109, 110, 113, 117, 118syl22anc 1325 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (π mod 𝑇) = π)
120105, 108, 1193eqtrd 2658 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π)) → (𝑋 mod 𝑇) = π)
121120ex 450 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π) → (𝑋 mod 𝑇) = π))
122121a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ ¬ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π) → (𝑋 mod 𝑇) = π)))
123122rexlimdv 3026 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ ¬ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (∃𝑘 ∈ ℤ ((2 · 𝑘) + 1) = (𝑋 / π) → (𝑋 mod 𝑇) = π))
12470, 123mpd 15 . . . . . . 7 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ ¬ 2 ∥ (𝑋 / π)) → (𝑋 mod 𝑇) = π)
125124olcd 408 . . . . . 6 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ ¬ 2 ∥ (𝑋 / π)) → ((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∨ (𝑋 mod 𝑇) = π))
12667, 125pm2.61dan 831 . . . . 5 ((𝑋 mod π) = 0 → ((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∨ (𝑋 mod 𝑇) = π))
127 0xr 10071 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
12833rexri 10082 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ*
129 iocgtlb 39527 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π)) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
130127, 128, 129mp3an12 1412 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
131130gt0ne0d 10577 . . . . . 6 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) → (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0)
132131neneqd 2796 . . . . 5 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0)
133 pm2.53 388 . . . . . 6 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∨ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) = π))
134133imp 445 . . . . 5 ((((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∨ (𝑋 mod 𝑇) = π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) = π)
135126, 132, 134syl2anr 495 . . . 4 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ (𝑋 mod π) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) = π)
136127a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 mod 𝑇) = π → 0 ∈ ℝ*)
137128a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 mod 𝑇) = π → π ∈ ℝ*)
138 modcl 12655 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1394, 63, 138mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ
140139rexri 10082 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*
141140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
142 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) = π)
14334, 142syl5breqr 4682 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 mod 𝑇) = π → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
14433eqlei2 10133 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
145136, 137, 141, 143, 144eliocd 39533 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
146145iftrued 4085 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 mod 𝑇) = π → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = 1)
147146adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = 1)
148 oveq1 6642 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 mod 𝑇) = (𝑋 mod 𝑇))
149148breq1d 4654 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 mod 𝑇) < π ↔ (𝑋 mod 𝑇) < π))
150149ifbid 4099 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑋 → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
151 fourierswlem.f . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
152 1ex 10020 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
153 negex 10264 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 ∈ V
154152, 153ifex 4147 . . . . . . . . . . . . 13 if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ V
155150, 151, 154fvmpt 6269 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℝ → (𝐹𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1564, 155ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1)
157139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
158 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝑋 mod 𝑇) < π)
159157, 158ltned 10158 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝑋 mod 𝑇) ≠ π)
160159necon2bi 2821 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 mod 𝑇) = π → ¬ (𝑋 mod 𝑇) < π)
161160iffalsed 4088 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 mod 𝑇) = π → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
162156, 161syl5eq 2666 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝐹𝑋) = -1)
163162adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝐹𝑋) = -1)
164147, 163oveq12d 6653 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) = (1 + -1))
165 1pneg1e0 11114 . . . . . . . 8 (1 + -1) = 0
166164, 165syl6eq 2670 . . . . . . 7 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) = 0)
167166oveq1d 6650 . . . . . 6 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) = (0 / 2))
168167adantll 749 . . . . 5 ((((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ (𝑋 mod π) = 0) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) = (0 / 2))
169 2cn 11076 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
170169, 44div0i 10744 . . . . . 6 (0 / 2) = 0
171170a1i 11 . . . . 5 ((((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ (𝑋 mod π) = 0) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (0 / 2) = 0)
172 fourierswlem.y . . . . . . 7 𝑌 = if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋))
173 iftrue 4083 . . . . . . 7 ((𝑋 mod π) = 0 → if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋)) = 0)
174172, 173syl5req 2667 . . . . . 6 ((𝑋 mod π) = 0 → 0 = 𝑌)
175174ad2antlr 762 . . . . 5 ((((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ (𝑋 mod π) = 0) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → 0 = 𝑌)
176168, 171, 1753eqtrrd 2659 . . . 4 ((((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ (𝑋 mod π) = 0) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
177135, 176mpdan 701 . . 3 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ (𝑋 mod π) = 0) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
178 iftrue 4083 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = 1)
179178adantr 481 . . . . . 6 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = 1)
180139a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
18133a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → π ∈ ℝ)
182 iocleub 39528 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π)) → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
183127, 128, 182mp3an12 1412 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
184183adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
185 ax-1cn 9979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℂ
186185, 14mulcomi 10031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 · π) = (π · 1)
18783, 186eqtr3i 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π = (π · 1)
188187oveq1i 6645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π + (π · (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))) = ((π · 1) + (π · (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
189169, 14mulcomi 10031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · π) = (π · 2)
19040, 189eqtri 2642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑇 = (π · 2)
191190oveq1i 6645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) = ((π · 2) · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))
192111, 62gtneii 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑇 ≠ 0
1934, 59, 192redivcli 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 / 𝑇) ∈ ℝ
194 flcl 12579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 / 𝑇) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑋 / 𝑇)) ∈ ℤ)
195193, 194ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⌊‘(𝑋 / 𝑇)) ∈ ℤ
196 zcn 11367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((⌊‘(𝑋 / 𝑇)) ∈ ℤ → (⌊‘(𝑋 / 𝑇)) ∈ ℂ)
197195, 196ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (⌊‘(𝑋 / 𝑇)) ∈ ℂ
19814, 169, 197mulassi 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π · 2) · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) = (π · (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))
199191, 198eqtri 2642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) = (π · (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))
200199oveq2i 6646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π + (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) = (π + (π · (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
201169, 197mulcli 10030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) ∈ ℂ
20214, 185, 201adddii 10035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π · (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))) = ((π · 1) + (π · (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
203188, 200, 2023eqtr4ri 2653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π · (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))) = (π + (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))
204203a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (π · (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))) = (π + (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
205 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π = (𝑋 mod 𝑇) → π = (𝑋 mod 𝑇))
206 modval 12653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝑇) = (𝑋 − (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
2074, 63, 206mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 mod 𝑇) = (𝑋 − (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))
208205, 207syl6eq 2670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π = (𝑋 mod 𝑇) → π = (𝑋 − (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
209208oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (π + (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) = ((𝑋 − (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) + (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
21027a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π = (𝑋 mod 𝑇) → 𝑋 ∈ ℂ)
21159recni 10037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 ∈ ℂ
212211, 197mulcli 10030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) ∈ ℂ
213212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) ∈ ℂ)
214210, 213npcand 10381 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π = (𝑋 mod 𝑇) → ((𝑋 − (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) + (𝑇 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) = 𝑋)
215204, 209, 2143eqtrrd 2659 . . . . . . . . . . . . . 14 (π = (𝑋 mod 𝑇) → 𝑋 = (π · (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))))
216215oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . . 13 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 / π) = ((π · (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))) / π))
217185, 201addcli 10029 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) ∈ ℂ
218217, 14, 35divcan3i 10756 . . . . . . . . . . . . 13 ((π · (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))) / π) = (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))))
219216, 218syl6eq 2670 . . . . . . . . . . . 12 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 / π) = (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))))
220 1z 11392 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
221 zmulcl 11411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑋 / 𝑇)) ∈ ℤ) → (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) ∈ ℤ)
2222, 195, 221mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) ∈ ℤ
223 zaddcl 11402 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇))) ∈ ℤ) → (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) ∈ ℤ)
224220, 222, 223mp2an 707 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) ∈ ℤ
225224a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (1 + (2 · (⌊‘(𝑋 / 𝑇)))) ∈ ℤ)
226219, 225eqeltrd 2699 . . . . . . . . . . 11 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 / π) ∈ ℤ)
227226, 7sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (π = (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 mod π) = 0)
228227necon3bi 2817 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑋 mod π) = 0 → π ≠ (𝑋 mod 𝑇))
229228adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → π ≠ (𝑋 mod 𝑇))
230180, 181, 184, 229leneltd 10176 . . . . . . 7 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
231 iftrue 4083 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) < π → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
232156, 231syl5eq 2666 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝐹𝑋) = 1)
233230, 232syl 17 . . . . . 6 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → (𝐹𝑋) = 1)
234179, 233oveq12d 6653 . . . . 5 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → (if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) = (1 + 1))
235234oveq1d 6650 . . . 4 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) = ((1 + 1) / 2))
236 1p1e2 11119 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
237236oveq1i 6645 . . . . . 6 ((1 + 1) / 2) = (2 / 2)
238 2div2e1 11135 . . . . . 6 (2 / 2) = 1
239237, 238eqtr2i 2643 . . . . 5 1 = ((1 + 1) / 2)
240233, 239syl6req 2671 . . . 4 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → ((1 + 1) / 2) = (𝐹𝑋))
241 iffalse 4086 . . . . . 6 (¬ (𝑋 mod π) = 0 → if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋)) = (𝐹𝑋))
242172, 241syl5req 2667 . . . . 5 (¬ (𝑋 mod π) = 0 → (𝐹𝑋) = 𝑌)
243242adantl 482 . . . 4 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → (𝐹𝑋) = 𝑌)
244235, 240, 2433eqtrrd 2659 . . 3 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod π) = 0) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
245177, 244pm2.61dan 831 . 2 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
246131necon2bi 2821 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
247246iffalsed 4088 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = -1)
248 id 22 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) = 0)
249248, 34syl6eqbr 4683 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) < π)
250249iftrued 4085 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
251156, 250syl5eq 2666 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝐹𝑋) = 1)
252247, 251oveq12d 6653 . . . . . 6 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) = (-1 + 1))
253252oveq1d 6650 . . . . 5 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) = ((-1 + 1) / 2))
254 neg1cn 11109 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
255185, 254, 165addcomli 10213 . . . . . . . 8 (-1 + 1) = 0
256255oveq1i 6645 . . . . . . 7 ((-1 + 1) / 2) = (0 / 2)
257256, 170eqtri 2642 . . . . . 6 ((-1 + 1) / 2) = 0
258257a1i 11 . . . . 5 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((-1 + 1) / 2) = 0)
25940oveq2i 6646 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 / 𝑇) = (𝑋 / (2 · π))
260 2cnne0 11227 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
26114, 35pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . 14 (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)
262 divdiv1 10721 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)) → ((𝑋 / 2) / π) = (𝑋 / (2 · π)))
26327, 260, 261, 262mp3an 1422 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 / 2) / π) = (𝑋 / (2 · π))
26427, 169, 14, 44, 35divdiv32i 10765 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 / 2) / π) = ((𝑋 / π) / 2)
265259, 263, 2643eqtr2i 2648 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 / 𝑇) = ((𝑋 / π) / 2)
266265oveq2i 6646 . . . . . . . . . . 11 (2 · (𝑋 / 𝑇)) = (2 · ((𝑋 / π) / 2))
26727, 14, 35divcli 10752 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 / π) ∈ ℂ
268267, 169, 44divcan2i 10753 . . . . . . . . . . 11 (2 · ((𝑋 / π) / 2)) = (𝑋 / π)
269266, 268eqtr2i 2643 . . . . . . . . . 10 (𝑋 / π) = (2 · (𝑋 / 𝑇))
2702a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
271 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ → (𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ)
272270, 271zmulcld 11473 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ → (2 · (𝑋 / 𝑇)) ∈ ℤ)
273269, 272syl5eqel 2703 . . . . . . . . 9 ((𝑋 / 𝑇) ∈ ℤ → (𝑋 / π) ∈ ℤ)
27465, 273sylbi 207 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 / π) ∈ ℤ)
275274, 7sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod π) = 0)
276275iftrued 4085 . . . . . 6 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋)) = 0)
277172, 276syl5req 2667 . . . . 5 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → 0 = 𝑌)
278253, 258, 2773eqtrrd 2659 . . . 4 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
279278adantl 482 . . 3 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
280128a1i 11 . . . . 5 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ∈ ℝ*)
28159rexri 10082 . . . . . 6 𝑇 ∈ ℝ*
282281a1i 11 . . . . 5 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → 𝑇 ∈ ℝ*)
283139a1i 11 . . . . 5 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
284 pm4.56 516 . . . . . . . 8 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) ↔ ¬ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
285284biimpi 206 . . . . . . 7 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ¬ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
286 olc 399 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
287286adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
288127a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → 0 ∈ ℝ*)
289128a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ∈ ℝ*)
290140a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
291 0red 10026 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0 → 0 ∈ ℝ)
292139a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
293 modge0 12661 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
2944, 63, 293mp2an 707 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇)
295294a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0 → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
296 neqne 2799 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0)
297291, 292, 295, 296leneltd 10176 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0 → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
298297adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
299 simpl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
300288, 289, 290, 298, 299eliocd 39533 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
301300orcd 407 . . . . . . . 8 (((𝑋 mod 𝑇) ≤ π ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
302287, 301pm2.61dan 831 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) ≤ π → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
303285, 302nsyl 135 . . . . . 6 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
30433a1i 11 . . . . . . 7 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ∈ ℝ)
305304, 283ltnled 10169 . . . . . 6 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (π < (𝑋 mod 𝑇) ↔ ¬ (𝑋 mod 𝑇) ≤ π))
306303, 305mpbird 247 . . . . 5 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π < (𝑋 mod 𝑇))
307 modlt 12662 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
3084, 63, 307mp2an 707 . . . . . 6 (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇
309308a1i 11 . . . . 5 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
310280, 282, 283, 306, 309eliood 39523 . . . 4 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇))
311127a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 0 ∈ ℝ*)
31233a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → π ∈ ℝ)
313140a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
314 ioogtlb 39520 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇)) → π < (𝑋 mod 𝑇))
315128, 281, 314mp3an12 1412 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → π < (𝑋 mod 𝑇))
316311, 312, 313, 315gtnelioc 39515 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
317316iffalsed 4088 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = -1)
318139a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
319312, 318, 315ltnsymd 10171 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) < π)
320319iffalsed 4088 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
321156, 320syl5eq 2666 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝐹𝑋) = -1)
322317, 321oveq12d 6653 . . . . . 6 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) = (-1 + -1))
323322oveq1d 6650 . . . . 5 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) = ((-1 + -1) / 2))
324 df-2 11064 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
325324negeqi 10259 . . . . . . . . 9 -2 = -(1 + 1)
326185, 185negdii 10350 . . . . . . . . 9 -(1 + 1) = (-1 + -1)
327325, 326eqtr2i 2643 . . . . . . . 8 (-1 + -1) = -2
328327oveq1i 6645 . . . . . . 7 ((-1 + -1) / 2) = (-2 / 2)
329 divneg 10704 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(2 / 2) = (-2 / 2))
330169, 169, 44, 329mp3an 1422 . . . . . . 7 -(2 / 2) = (-2 / 2)
331238negeqi 10259 . . . . . . 7 -(2 / 2) = -1
332328, 330, 3313eqtr2i 2648 . . . . . 6 ((-1 + -1) / 2) = -1
333332a1i 11 . . . . 5 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((-1 + -1) / 2) = -1)
334172a1i 11 . . . . . 6 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝑌 = if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋)))
335312, 318ltnled 10169 . . . . . . . . 9 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (π < (𝑋 mod 𝑇) ↔ ¬ (𝑋 mod 𝑇) ≤ π))
336315, 335mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
337248, 112syl6eqbr 4683 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
338337adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
339126orcanai 951 . . . . . . . . . 10 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) = π)
340339, 144syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑋 mod π) = 0 ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
341338, 340pm2.61dan 831 . . . . . . . 8 ((𝑋 mod π) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) ≤ π)
342336, 341nsyl 135 . . . . . . 7 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod π) = 0)
343342iffalsed 4088 . . . . . 6 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋)) = (𝐹𝑋))
344334, 343, 3213eqtrrd 2659 . . . . 5 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -1 = 𝑌)
345323, 333, 3443eqtrrd 2659 . . . 4 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
346310, 345syl 17 . . 3 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
347279, 346pm2.61dan 831 . 2 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π) → 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
348245, 347pm2.61i 176 1 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791  wrex 2910  ifcif 4077   class class class wbr 4644  cmpt 4720  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926  *cxr 10058   < clt 10059  cle 10060  cmin 10251  -cneg 10252   / cdiv 10669  2c2 11055  cz 11362  +crp 11817  (,)cioo 12160  (,]cioc 12161  cfl 12574   mod cmo 12651  πcpi 14778  cdvds 14964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ioc 12165  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-exp 12844  df-fac 13044  df-bc 13073  df-hash 13101  df-shft 13788  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-limsup 14183  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-sum 14398  df-ef 14779  df-sin 14781  df-cos 14782  df-pi 14784  df-dvds 14965  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-mulg 17522  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-fbas 19724  df-fg 19725  df-cnfld 19728  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cld 20804  df-ntr 20805  df-cls 20806  df-nei 20883  df-lp 20921  df-perf 20922  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-haus 21100  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-fil 21631  df-fm 21723  df-flim 21724  df-flf 21725  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108  df-cncf 22662  df-limc 23611  df-dv 23612
This theorem is referenced by:  fouriersw  40211
  Copyright terms: Public domain W3C validator