Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem97 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem97 40938
Description: 𝐹 is continuous on the intervals induced by the moved partition 𝑉. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem97.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem97.g 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem97.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem97.a (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem97.b (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem97.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem97.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem97.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem97.fper ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem97.qcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem97.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem97.d (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
fourierdlem97.j (𝜑𝐽 ∈ (0..^((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)))
fourierdlem97.v 𝑉 = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
fourierdlem97.h 𝐻 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem97 (𝜑 → (𝐺 ↾ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) ∈ (((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))–cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑥   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝑦,𝐶,𝑔   𝐶,𝑖,𝑥,𝑦   𝐶,𝑚,𝑝,𝑦   𝑦,𝐷,𝑔   𝐷,𝑖,𝑥   𝐷,𝑚,𝑝   𝐹,𝑠,𝑥   𝑦,𝐹   𝑖,𝐺,𝑠   𝑦,𝐺   𝑖,𝐻,𝑠,𝑥   ,𝐽,𝑘,𝑖,𝑥   𝐽,𝑠   ,𝑀,𝑖,𝑥   𝑚,𝑀,𝑝   𝑀,𝑠   𝑄,,𝑘,𝑔,𝑦   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑚,𝑝,𝑘   𝑄,𝑠   𝑇,,𝑘,𝑔,𝑦   𝑇,𝑖,𝑥   𝑇,𝑚,𝑝   𝑇,𝑠   ,𝑉,𝑘,𝑔   𝑖,𝑉,𝑥   𝑉,𝑝   𝑉,𝑠   𝜑,,𝑦,𝑔   𝜑,𝑖,𝑠,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑚,𝑝)   𝐴(𝑦,𝑔,,𝑘,𝑠)   𝐵(𝑦,𝑔,,𝑘,𝑠)   𝐶(,𝑘,𝑠)   𝐷(,𝑘,𝑠)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑔,,𝑖,𝑘,𝑚,𝑠,𝑝)   𝐹(𝑔,,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐺(𝑥,𝑔,,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐻(𝑦,𝑔,,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐽(𝑦,𝑔,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑦,𝑔,𝑘)   𝑉(𝑦,𝑚)

Proof of Theorem fourierdlem97
Dummy variables 𝑓 𝑙 𝑡 𝑢 𝑤 𝑧 𝑣 𝑒 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioossre 12439 . . . . . . . 8 ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ ℝ
21a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ ℝ)
32sselda 3749 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
4 iftrue 4228 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ dom 𝐺 → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) = (𝐺𝑠))
54adantl 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ dom 𝐺) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) = (𝐺𝑠))
6 fourierdlem97.f . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
7 ssid 3770 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℝ
8 dvfre 23940 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
96, 7, 8sylancl 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
10 fourierdlem97.g . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 = (ℝ D 𝐹)
1110feq1i 6175 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
129, 11sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
1312adantr 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ dom 𝐺) → 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
14 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ dom 𝐺𝑠 ∈ dom 𝐺)
1510dmeqi 5462 . . . . . . . . . . . . 13 dom 𝐺 = dom (ℝ D 𝐹)
1614, 15syl6eleq 2858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ dom 𝐺𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
1716adantl 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ dom 𝐺) → 𝑠 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
1813, 17ffvelrnd 6502 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑠) ∈ ℝ)
195, 18eqeltrd 2848 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ dom 𝐺) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) ∈ ℝ)
2019adantlr 750 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑠 ∈ dom 𝐺) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) ∈ ℝ)
21 iffalse 4231 . . . . . . . . . 10 𝑠 ∈ dom 𝐺 → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) = 0)
22 0red 10241 . . . . . . . . . 10 𝑠 ∈ dom 𝐺 → 0 ∈ ℝ)
2321, 22eqeltrd 2848 . . . . . . . . 9 𝑠 ∈ dom 𝐺 → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) ∈ ℝ)
2423adantl 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑠 ∈ dom 𝐺) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) ∈ ℝ)
2520, 24pm2.61dan 864 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) ∈ ℝ)
263, 25syldan 489 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) ∈ ℝ)
27 fourierdlem97.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0))
2827fvmpt2 6432 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) ∈ ℝ) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0))
293, 26, 28syl2anc 693 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0))
30 fourierdlem97.t . . . . . . . . . 10 𝑇 = (𝐵𝐴)
31 fourierdlem97.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
32 fourierdlem97.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
33 fourierdlem97.q . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
34 fourierdlem97.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
35 fourierdlem97.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
36 elioore 12409 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞) → 𝐷 ∈ ℝ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
3834rexrd 10289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
39 pnfxr 10292 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
41 ioogtlb 40239 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞)) → 𝐶 < 𝐷)
4238, 40, 35, 41syl3anc 1474 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 < 𝐷)
43 oveq1 6798 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + ( · 𝑇)) = (𝑥 + ( · 𝑇)))
4443eleq1d 2833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑥 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
4544rexbidv 3198 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 → (∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ ∈ ℤ (𝑥 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
4645cbvrabv 3347 . . . . . . . . . . 11 {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑥 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
4746uneq2i 3912 . . . . . . . . . 10 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑥 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
48 oveq1 6798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑙 → (𝑘 · 𝑇) = (𝑙 · 𝑇))
4948oveq2d 6807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑙 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)))
5049eleq1d 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑙 → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
5150cbvrexv 3319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
5352rabbiia 3332 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
5453uneq2i 3912 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
55 oveq1 6798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = → (𝑙 · 𝑇) = ( · 𝑇))
5655oveq2d 6807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = → (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) = (𝑦 + ( · 𝑇)))
5756eleq1d 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 = → ((𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
5857cbvrexv 3319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄)
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) → (∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
6059rabbiia 3332 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
6160uneq2i 3912 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
6254, 61eqtri 2791 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
6362fveq2i 6334 . . . . . . . . . . 11 (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) = (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))
6463oveq1i 6801 . . . . . . . . . 10 ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1) = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
65 fourierdlem97.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
66 fourierdlem97.j . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ (0..^((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)))
67 oveq1 6798 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = → (𝑘 · 𝑇) = ( · 𝑇))
6867oveq2d 6807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = → ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) = ((𝑄‘0) + ( · 𝑇)))
6968breq1d 4793 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = → (((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽) ↔ ((𝑄‘0) + ( · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)))
7069cbvrabv 3347 . . . . . . . . . . 11 {𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} = { ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + ( · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}
7170supeq1i 8507 . . . . . . . . . 10 sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) = sup({ ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + ( · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < )
72 fveq2 6331 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑒 → (𝑄𝑗) = (𝑄𝑒))
7372oveq1d 6806 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑒 → ((𝑄𝑗) + (sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) · 𝑇)) = ((𝑄𝑒) + (sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) · 𝑇)))
7473breq1d 4793 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑒 → (((𝑄𝑗) + (sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽) ↔ ((𝑄𝑒) + (sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)))
7574cbvrabv 3347 . . . . . . . . . . 11 {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)} = {𝑒 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑒) + (sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}
7675supeq1i 8507 . . . . . . . . . 10 sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) = sup({𝑒 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑒) + (sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < )
7730, 31, 32, 33, 34, 37, 42, 47, 64, 65, 66, 71, 76fourierdlem64 40905 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ ((𝑄𝑗) + (sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) ∈ (0..^𝑀) ∧ sup({𝑘 ∈ ℤ ∣ ((𝑄‘0) + (𝑘 · 𝑇)) ≤ (𝑉𝐽)}, ℝ, < ) ∈ ℤ) ∧ ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑙 ∈ ℤ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))))
7877simprd 483 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑙 ∈ ℤ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇))))
79 simpl1 1225 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → 𝜑)
80 simpl2l 1280 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
81 fourierdlem97.qcn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
82 cncff 22922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
84 ffun 6187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ → Fun 𝐺)
8512, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → Fun 𝐺)
8685adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → Fun 𝐺)
87 ffvresb 6535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Fun 𝐺 → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ ↔ ∀𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝑠 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑠) ∈ ℂ)))
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ ↔ ∀𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝑠 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑠) ∈ ℂ)))
8983, 88mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(𝑠 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑠) ∈ ℂ))
9089r19.21bi 3079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝑠 ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺𝑠) ∈ ℂ))
9190simpld 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ dom 𝐺)
9291ralrimiva 3113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑠 ∈ dom 𝐺)
93 dfss3 3738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐺 ↔ ∀𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))𝑠 ∈ dom 𝐺)
9492, 93sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐺)
9579, 80, 94syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐺)
96 simpl2 1227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ))
9779, 96jca 556 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → (𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)))
98 simpl3 1229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇))))
99 simpr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))))
10098, 99sseldd 3750 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇))))
10131fourierdlem2 40844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
10232, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
10333, 102mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
104103simpld 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)))
105 elmapi 8029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
107106adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
108 elfzofz 12692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
109108adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
110107, 109ffvelrnd 6502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
111110rexrd 10289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
112111adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
113112adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
114 fzofzp1 12772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
115114adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
116107, 115ffvelrnd 6502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
117116adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
118117adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
119118rexrd 10289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
120 elioore 12409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇))) → 𝑡 ∈ ℝ)
121120adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → 𝑡 ∈ ℝ)
122 zre 11581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑙 ∈ ℤ → 𝑙 ∈ ℝ)
123122adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℝ)
124123ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → 𝑙 ∈ ℝ)
125 fourierdlem97.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
126 fourierdlem97.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
127125, 126resubcld 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
12830, 127syl5eqel 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
129128ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
130124, 129remulcld 10270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → (𝑙 · 𝑇) ∈ ℝ)
131121, 130resubcld 10658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ ℝ)
132110adantrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
133122ad2antll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) → 𝑙 ∈ ℝ)
134128adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) → 𝑇 ∈ ℝ)
135133, 134remulcld 10270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) → (𝑙 · 𝑇) ∈ ℝ)
136132, 135readdcld 10269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) → ((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ℝ)
137136rexrd 10289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) → ((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
138137adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → ((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
139117, 135readdcld 10269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ℝ)
140139rexrd 10289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
141140adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ℝ*)
142 simpr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇))))
143 ioogtlb 40239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → ((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇)) < 𝑡)
144138, 141, 142, 143syl3anc 1474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → ((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇)) < 𝑡)
145132adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
146145, 130, 121ltaddsubd 10827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇)) < 𝑡 ↔ (𝑄𝑖) < (𝑡 − (𝑙 · 𝑇))))
147144, 146mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → (𝑄𝑖) < (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)))
148 iooltub 40256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ℝ*𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → 𝑡 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))
149138, 141, 142, 148syl3anc 1474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → 𝑡 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))
150121, 130, 118ltsubaddd 10823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → ((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ 𝑡 < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇))))
151149, 150mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
152113, 119, 131, 147, 151eliood 40242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
15397, 100, 152syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
15495, 153sseldd 3750 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺)
155 elioore 12409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) → 𝑡 ∈ ℝ)
156 recn 10226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
157156adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
158 zcn 11582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑙 ∈ ℤ → 𝑙 ∈ ℂ)
159158ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑙 ∈ ℂ)
160128recnd 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
161160ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
162159, 161mulcld 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑙 · 𝑇) ∈ ℂ)
163157, 162npcand 10596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇)) = 𝑡)
164163eqcomd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 = ((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇)))
165164adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺) → 𝑡 = ((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇)))
166 ovex 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ V
167 eleq1 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 = (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) → (𝑠 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺))
168167anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 = (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) → (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ dom 𝐺) ↔ ((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺)))
169 oveq1 6798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 = (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) → (𝑠 + (𝑙 · 𝑇)) = ((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇)))
170169eleq1d 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 = (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) → ((𝑠 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺 ↔ ((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺))
171169fveq2d 6335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 = (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) → (𝐺‘(𝑠 + (𝑙 · 𝑇))) = (𝐺‘((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇))))
172 fveq2 6331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 = (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) → (𝐺𝑠) = (𝐺‘(𝑡 − (𝑙 · 𝑇))))
173171, 172eqeq12d 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 = (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) → ((𝐺‘(𝑠 + (𝑙 · 𝑇))) = (𝐺𝑠) ↔ (𝐺‘((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇))) = (𝐺‘(𝑡 − (𝑙 · 𝑇)))))
174170, 173anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 = (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) → (((𝑠 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑠 + (𝑙 · 𝑇))) = (𝐺𝑠)) ↔ (((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇))) = (𝐺‘(𝑡 − (𝑙 · 𝑇))))))
175168, 174imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) → ((((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ dom 𝐺) → ((𝑠 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑠 + (𝑙 · 𝑇))) = (𝐺𝑠))) ↔ (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺) → (((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇))) = (𝐺‘(𝑡 − (𝑙 · 𝑇)))))))
176 ax-resscn 10193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ℝ ⊆ ℂ
177176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
1786, 177fssd 6196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
179178adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑙 ∈ ℤ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
180122adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑙 ∈ ℤ) → 𝑙 ∈ ℝ)
181128adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑙 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℝ)
182180, 181remulcld 10270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑙 ∈ ℤ) → (𝑙 · 𝑇) ∈ ℝ)
183178ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
184128ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
185 simplr 806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑙 ∈ ℤ)
186 simpr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℝ)
187 fourierdlem97.fper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
188187ad4ant14 1206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
189183, 184, 185, 186, 188fperiodmul 40036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑠 + (𝑙 · 𝑇))) = (𝐹𝑠))
190179, 182, 189, 10fperdvper 40652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑠 ∈ dom 𝐺) → ((𝑠 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑠 + (𝑙 · 𝑇))) = (𝐺𝑠)))
191166, 175, 190vtocl 3407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺) → (((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇))) = (𝐺‘(𝑡 − (𝑙 · 𝑇)))))
192191simpld 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺) → ((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺)
193192adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺) → ((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) + (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺)
194165, 193eqeltrd 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺) → 𝑡 ∈ dom 𝐺)
195194ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺𝑡 ∈ dom 𝐺))
196155, 195sylan2 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑙 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺𝑡 ∈ dom 𝐺))
197196adantlrl 755 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺𝑡 ∈ dom 𝐺))
1981973adantl3 1171 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑡 − (𝑙 · 𝑇)) ∈ dom 𝐺𝑡 ∈ dom 𝐺))
199154, 198mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → 𝑡 ∈ dom 𝐺)
200199ralrimiva 3113 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))𝑡 ∈ dom 𝐺)
201 dfss3 3738 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ dom 𝐺 ↔ ∀𝑡 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))𝑡 ∈ dom 𝐺)
202200, 201sylibr 224 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) ∧ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇)))) → ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ dom 𝐺)
2032023exp 1110 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑙 ∈ ℤ) → (((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇))) → ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ dom 𝐺)))
204203rexlimdvv 3183 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑖 ∈ (0..^𝑀)∃𝑙 ∈ ℤ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ (((𝑄𝑖) + (𝑙 · 𝑇))(,)((𝑄‘(𝑖 + 1)) + (𝑙 · 𝑇))) → ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ dom 𝐺))
20578, 204mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ⊆ dom 𝐺)
206205sselda 3749 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → 𝑠 ∈ dom 𝐺)
207206iftrued 4230 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) = (𝐺𝑠))
20829, 207eqtr2d 2804 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) → (𝐺𝑠) = (𝐻𝑠))
209208mpteq2dva 4875 . . 3 (𝜑 → (𝑠 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ↦ (𝐺𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ↦ (𝐻𝑠)))
21015a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐺 = dom (ℝ D 𝐹))
211210feq2d 6170 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺:dom 𝐺⟶ℝ ↔ 𝐺:dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ))
21212, 211mpbird 247 . . . 4 (𝜑𝐺:dom 𝐺⟶ℝ)
213212, 205feqresmpt 6391 . . 3 (𝜑 → (𝐺 ↾ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ↦ (𝐺𝑠)))
21425, 27fmptd 6526 . . . 4 (𝜑𝐻:ℝ⟶ℝ)
215214, 2feqresmpt 6391 . . 3 (𝜑 → (𝐻 ↾ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1))) ↦ (𝐻𝑠)))
216209, 213, 2153eqtr4d 2813 . 2 (𝜑 → (𝐺 ↾ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) = (𝐻 ↾ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))))
217214, 177fssd 6196 . . 3 (𝜑𝐻:ℝ⟶ℂ)
21827a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝐻 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0)))
219 eleq1 2836 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑥 + 𝑇) → (𝑠 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺))
220 fveq2 6331 . . . . . . . . 9 (𝑠 = (𝑥 + 𝑇) → (𝐺𝑠) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))
221219, 220ifbieq1d 4245 . . . . . . . 8 (𝑠 = (𝑥 + 𝑇) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) = if((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺, (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)), 0))
222178, 128, 187, 10fperdvper 40652 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐺𝑥)))
223222simpld 478 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺)
224223iftrued 4230 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → if((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺, (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)), 0) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))
225221, 224sylan9eqr 2825 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑠 = (𝑥 + 𝑇)) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))
226225adantllr 754 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑠 = (𝑥 + 𝑇)) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))
227 simpr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
228128adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
229227, 228readdcld 10269 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
230229adantr 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
231212ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℝ)
232223adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺)
233231, 232ffvelrnd 6502 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) ∈ ℝ)
234218, 226, 230, 233fvmptd 6429 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐻‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))
235222simprd 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐺𝑥))
236235adantlr 750 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐺𝑥))
237 eleq1 2836 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑥 → (𝑠 ∈ dom 𝐺𝑥 ∈ dom 𝐺))
238 fveq2 6331 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑥 → (𝐺𝑠) = (𝐺𝑥))
239237, 238ifbieq1d 4245 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑥 → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) = if(𝑥 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑥), 0))
240239adantl 474 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑠 = 𝑥) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) = if(𝑥 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑥), 0))
241 simplr 806 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ ℝ)
242 simpr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
243242iftrued 4230 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → if(𝑥 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑥), 0) = (𝐺𝑥))
244212ffvelrnda 6501 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
245243, 244eqeltrd 2848 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → if(𝑥 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑥), 0) ∈ ℝ)
246245adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → if(𝑥 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑥), 0) ∈ ℝ)
247218, 240, 241, 246fvmptd 6429 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐻𝑥) = if(𝑥 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑥), 0))
248 simpr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
249248iftrued 4230 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → if(𝑥 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑥), 0) = (𝐺𝑥))
250247, 249eqtr2d 2804 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) = (𝐻𝑥))
251234, 236, 2503eqtrd 2807 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐻‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐻𝑥))
252229recnd 10268 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℂ)
253228recnd 10268 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
254252, 253negsubd 10598 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝑇) + -𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) − 𝑇))
255227recnd 10268 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
256255, 253pncand 10593 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑥)
257254, 256eqtr2d 2804 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 = ((𝑥 + 𝑇) + -𝑇))
258257adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺) → 𝑥 = ((𝑥 + 𝑇) + -𝑇))
259 simpr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺)
260 simpll 804 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺) → 𝜑)
261260, 259jca 556 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺) → (𝜑 ∧ (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺))
262 eleq1 2836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → (𝑦 ∈ dom 𝐺 ↔ (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺))
263262anbi2d 739 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → ((𝜑𝑦 ∈ dom 𝐺) ↔ (𝜑 ∧ (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺)))
264 oveq1 6798 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → (𝑦 + -𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) + -𝑇))
265264eleq1d 2833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → ((𝑦 + -𝑇) ∈ dom 𝐺 ↔ ((𝑥 + 𝑇) + -𝑇) ∈ dom 𝐺))
266264fveq2d 6335 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → (𝐺‘(𝑦 + -𝑇)) = (𝐺‘((𝑥 + 𝑇) + -𝑇)))
267 fveq2 6331 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → (𝐺𝑦) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))
268266, 267eqeq12d 2784 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → ((𝐺‘(𝑦 + -𝑇)) = (𝐺𝑦) ↔ (𝐺‘((𝑥 + 𝑇) + -𝑇)) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇))))
269265, 268anbi12d 746 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → (((𝑦 + -𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑦 + -𝑇)) = (𝐺𝑦)) ↔ (((𝑥 + 𝑇) + -𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘((𝑥 + 𝑇) + -𝑇)) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))))
270263, 269imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → (((𝜑𝑦 ∈ dom 𝐺) → ((𝑦 + -𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑦 + -𝑇)) = (𝐺𝑦))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺) → (((𝑥 + 𝑇) + -𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘((𝑥 + 𝑇) + -𝑇)) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇))))))
271128renegcld 10657 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -𝑇 ∈ ℝ)
272160mulm1d 10682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (-1 · 𝑇) = -𝑇)
273272eqcomd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -𝑇 = (-1 · 𝑇))
274273adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → -𝑇 = (-1 · 𝑇))
275274oveq2d 6807 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + -𝑇) = (𝑦 + (-1 · 𝑇)))
276275fveq2d 6335 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + -𝑇)) = (𝐹‘(𝑦 + (-1 · 𝑇))))
277178adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
278128adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
279 1zzd 11608 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
280279znegcld 11684 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℤ)
281 simpr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
282187adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
283277, 278, 280, 281, 282fperiodmul 40036 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + (-1 · 𝑇))) = (𝐹𝑦))
284276, 283eqtrd 2803 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + -𝑇)) = (𝐹𝑦))
285178, 271, 284, 10fperdvper 40652 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ dom 𝐺) → ((𝑦 + -𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘(𝑦 + -𝑇)) = (𝐺𝑦)))
286270, 285vtoclg 3414 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺 → ((𝜑 ∧ (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺) → (((𝑥 + 𝑇) + -𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘((𝑥 + 𝑇) + -𝑇)) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))))
287259, 261, 286sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺) → (((𝑥 + 𝑇) + -𝑇) ∈ dom 𝐺 ∧ (𝐺‘((𝑥 + 𝑇) + -𝑇)) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇))))
288287simpld 478 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺) → ((𝑥 + 𝑇) + -𝑇) ∈ dom 𝐺)
289258, 288eqeltrd 2848 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
290289stoic1a 1843 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → ¬ (𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺)
291290iffalsed 4233 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → if((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺, (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)), 0) = 0)
29227a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝐻 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0)))
293221adantl 474 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑠 = (𝑥 + 𝑇)) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) = if((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺, (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)), 0))
294229adantr 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
295 0red 10241 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → 0 ∈ ℝ)
296291, 295eqeltrd 2848 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → if((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺, (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)), 0) ∈ ℝ)
297292, 293, 294, 296fvmptd 6429 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐻‘(𝑥 + 𝑇)) = if((𝑥 + 𝑇) ∈ dom 𝐺, (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)), 0))
298 simpr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺)
299298iffalsed 4233 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → if(𝑥 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑥), 0) = 0)
300239, 299sylan9eqr 2825 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) ∧ 𝑠 = 𝑥) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) = 0)
301 simplr 806 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ ℝ)
302292, 300, 301, 295fvmptd 6429 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐻𝑥) = 0)
303291, 297, 3023eqtr4d 2813 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐻‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐻𝑥))
304251, 303pm2.61dan 864 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐻‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐻𝑥))
305 elioore 12409 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
306305adantl 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
307305, 25sylan2 493 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) ∈ ℝ)
308306, 307, 28syl2anc 693 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0))
309308adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0))
31091iftrued 4230 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → if(𝑠 ∈ dom 𝐺, (𝐺𝑠), 0) = (𝐺𝑠))
311309, 310eqtrd 2803 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐻𝑠) = (𝐺𝑠))
312311mpteq2dva 4875 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻𝑠)) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐺𝑠)))
313214adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐻:ℝ⟶ℝ)
314 ioossre 12439 . . . . . . 7 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ
315314a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
316313, 315feqresmpt 6391 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐻𝑠)))
317212adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℝ)
318317, 94feqresmpt 6391 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐺𝑠)))
319312, 316, 3183eqtr4d 2813 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐺 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
320319, 81eqeltrd 2848 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐻 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
321 eqid 2769 . . 3 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
322 oveq1 6798 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)))
323322eleq1d 2833 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
324323rexbidv 3198 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑙 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
325324cbvrabv 3347 . . . . 5 {𝑧 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
326325uneq2i 3912 . . . 4 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑧 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
327326eqcomi 2778 . . 3 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑧 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑧 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
32854fveq2i 6334 . . . 4 (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) = (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))
329328oveq1i 6801 . . 3 ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1) = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
330 isoeq5 6712 . . . . . 6 (({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) → (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
33161, 330ax-mp 5 . . . . 5 (𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
332331iotabii 6015 . . . 4 (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃ ∈ ℤ (𝑦 + ( · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
333 isoeq1 6708 . . . . 5 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
334333cbviotav 5999 . . . 4 (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑔𝑔 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
335332, 334, 653eqtr4ri 2802 . . 3 𝑉 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑙 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑙 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
336 id 22 . . . . 5 (𝑣 = 𝑥𝑣 = 𝑥)
337 oveq2 6799 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑥 → (𝐵𝑣) = (𝐵𝑥))
338337oveq1d 6806 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑥 → ((𝐵𝑣) / 𝑇) = ((𝐵𝑥) / 𝑇))
339338fveq2d 6335 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑥 → (⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)))
340339oveq1d 6806 . . . . 5 (𝑣 = 𝑥 → ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
341336, 340oveq12d 6809 . . . 4 (𝑣 = 𝑥 → (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
342341cbvmptv 4881 . . 3 (𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
343 eqeq1 2773 . . . . 5 (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 = 𝐵𝑧 = 𝐵))
344 id 22 . . . . 5 (𝑢 = 𝑧𝑢 = 𝑧)
345343, 344ifbieq2d 4247 . . . 4 (𝑢 = 𝑧 → if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢) = if(𝑧 = 𝐵, 𝐴, 𝑧))
346345cbvmptv 4881 . . 3 (𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢)) = (𝑧 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑧 = 𝐵, 𝐴, 𝑧))
347 eqid 2769 . . 3 ((𝑉‘(𝐽 + 1)) − ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1)))) = ((𝑉‘(𝐽 + 1)) − ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1))))
348 eqid 2769 . . 3 (𝐻 ↾ (((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉𝐽)))(,)((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1))))) = (𝐻 ↾ (((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉𝐽)))(,)((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1)))))
349 eqid 2769 . . 3 (𝑧 ∈ ((((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉𝐽))) + ((𝑉‘(𝐽 + 1)) − ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1)))))(,)(((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1))) + ((𝑉‘(𝐽 + 1)) − ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1)))))) ↦ ((𝐻 ↾ (((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉𝐽)))(,)((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1)))))‘(𝑧 − ((𝑉‘(𝐽 + 1)) − ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1))))))) = (𝑧 ∈ ((((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉𝐽))) + ((𝑉‘(𝐽 + 1)) − ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1)))))(,)(((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1))) + ((𝑉‘(𝐽 + 1)) − ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1)))))) ↦ ((𝐻 ↾ (((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉𝐽)))(,)((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1)))))‘(𝑧 − ((𝑉‘(𝐽 + 1)) − ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘(𝑉‘(𝐽 + 1)))))))
350 fveq2 6331 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑡 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑡))
351350breq1d 4793 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑡 → ((𝑄𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)) ↔ (𝑄𝑡) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))))
352351cbvrabv 3347 . . . . . 6 {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))} = {𝑡 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑡) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}
353 fveq2 6331 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑤) = ((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))
354353fveq2d 6335 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑤)) = ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)))
355354eqcomd 2775 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)) = ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑤)))
356355breq2d 4795 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑄𝑡) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥)) ↔ (𝑄𝑡) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑤))))
357356rabbidv 3337 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → {𝑡 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑡) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))} = {𝑡 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑡) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑤))})
358352, 357syl5req 2816 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → {𝑡 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑡) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑤))} = {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))})
359358supeq1d 8506 . . . 4 (𝑤 = 𝑥 → sup({𝑡 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑡) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑤))}, ℝ, < ) = sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
360359cbvmptv 4881 . . 3 (𝑤 ∈ ℝ ↦ sup({𝑡 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑡) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑤))}, ℝ, < )) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ ((𝑢 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑢 = 𝐵, 𝐴, 𝑢))‘((𝑣 ∈ ℝ ↦ (𝑣 + ((⌊‘((𝐵𝑣) / 𝑇)) · 𝑇)))‘𝑥))}, ℝ, < ))
36131, 30, 32, 33, 217, 304, 320, 34, 35, 321, 327, 329, 335, 342, 346, 66, 347, 348, 349, 360fourierdlem90 40931 . 2 (𝜑 → (𝐻 ↾ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) ∈ (((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))–cn→ℂ))
362216, 361eqeltrd 2848 1 (𝜑 → (𝐺 ↾ ((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))) ∈ (((𝑉𝐽)(,)(𝑉‘(𝐽 + 1)))–cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1069   = wceq 1629  wcel 2143  wral 3059  wrex 3060  {crab 3063  cun 3718  wss 3720  ifcif 4222  {cpr 4315   class class class wbr 4783  cmpt 4860  dom cdm 5248  ran crn 5249  cres 5250  cio 5991  Fun wfun 6024  wf 6026  cfv 6030   Isom wiso 6031  (class class class)co 6791  𝑚 cmap 8007  supcsup 8500  cc 10134  cr 10135  0cc0 10136  1c1 10137   + caddc 10139   · cmul 10141  +∞cpnf 10271  *cxr 10273   < clt 10274  cle 10275  cmin 10466  -cneg 10467   / cdiv 10884  cn 11220  cz 11577  (,)cioo 12379  (,]cioc 12380  [,]cicc 12382  ...cfz 12532  ..^cfzo 12672  cfl 12798  chash 13324  cnccncf 22905   D cdv 23853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-inf2 8700  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-int 4609  df-iun 4653  df-iin 4654  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-se 5208  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-fi 8471  df-sup 8502  df-inf 8503  df-oi 8569  df-card 8963  df-cda 9190  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-xnn0 11564  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13325  df-cj 14050  df-re 14051  df-im 14052  df-sqrt 14186  df-abs 14187  df-struct 16072  df-ndx 16073  df-slot 16074  df-base 16076  df-plusg 16168  df-mulr 16169  df-starv 16170  df-tset 16174  df-ple 16175  df-ds 16178  df-unif 16179  df-rest 16297  df-topn 16298  df-topgen 16318  df-psmet 19959  df-xmet 19960  df-met 19961  df-bl 19962  df-mopn 19963  df-fbas 19964  df-fg 19965  df-cnfld 19968  df-top 20925  df-topon 20942  df-topsp 20964  df-bases 20977  df-cld 21050  df-ntr 21051  df-cls 21052  df-nei 21129  df-lp 21167  df-perf 21168  df-cn 21258  df-cnp 21259  df-haus 21346  df-cmp 21417  df-fil 21876  df-fm 21968  df-flim 21969  df-flf 21970  df-xms 22351  df-ms 22352  df-cncf 22907  df-limc 23856  df-dv 23857
This theorem is referenced by:  fourierdlem112  40953
  Copyright terms: Public domain W3C validator