Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem94 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem94 40735
Description: For a piecewise smooth function, the left and the right limits exist at any point. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem94.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem94.t 𝑇 = (2 · π)
fourierdlem94.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem94.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem94.p 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem94.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem94.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem94.dvcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem94.dvlb ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ≠ ∅)
fourierdlem94.dvub ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem94 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹,𝑛,𝑥   𝑖,𝑀,𝑥,𝑛   𝑀,𝑝,𝑖,𝑛   𝑄,𝑖,𝑥,𝑛   𝑄,𝑝   𝑇,𝑖,𝑥,𝑛   𝑇,𝑝   𝑖,𝑋,𝑥,𝑛   𝑋,𝑝   𝜑,𝑖,𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑛,𝑝)   𝐹(𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem94
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑤 𝑦 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pire 24255 . . . . 5 π ∈ ℝ
21renegcli 10380 . . . 4 -π ∈ ℝ
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
41a1i 11 . . 3 (𝜑 → π ∈ ℝ)
5 negpilt0 39806 . . . . 5 -π < 0
6 pipos 24257 . . . . 5 0 < π
7 0re 10078 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
82, 7, 1lttri 10201 . . . . 5 ((-π < 0 ∧ 0 < π) → -π < π)
95, 6, 8mp2an 708 . . . 4 -π < π
109a1i 11 . . 3 (𝜑 → -π < π)
11 fourierdlem94.p . . 3 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑛)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑛) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑛)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
12 picn 24256 . . . . 5 π ∈ ℂ
13122timesi 11185 . . . 4 (2 · π) = (π + π)
14 fourierdlem94.t . . . 4 𝑇 = (2 · π)
1512, 12subnegi 10398 . . . 4 (π − -π) = (π + π)
1613, 14, 153eqtr4i 2683 . . 3 𝑇 = (π − -π)
17 fourierdlem94.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
18 fourierdlem94.q . . 3 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
19 ssid 3657 . . . 4 ℝ ⊆ ℝ
2019a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
21 fourierdlem94.f . . 3 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
22 simp2 1082 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℝ)
23 zre 11419 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℝ)
24233ad2ant3 1104 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
25 2re 11128 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
2625, 1remulcli 10092 . . . . . . . . 9 (2 · π) ∈ ℝ
2726a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℝ)
2814, 27syl5eqel 2734 . . . . . . 7 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
2928adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℝ)
30293adant2 1100 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑇 ∈ ℝ)
3124, 30remulcld 10108 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
3222, 31readdcld 10107 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ℝ)
33 simp1 1081 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝜑)
34 simp3 1083 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
35 ax-resscn 10031 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
3635a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3721, 36fssd 6095 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
3837adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
3938adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
4029adantr 480 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
41 simplr 807 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℤ)
42 simpr 476 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
43 eleq1 2718 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ ℝ ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
4443anbi2d 740 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ↔ (𝜑𝑦 ∈ ℝ)))
45 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
4645fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)))
47 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
4846, 47eqeq12d 2666 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦)))
4944, 48imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦))))
50 fourierdlem94.per . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
5149, 50chvarv 2299 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦))
5251ad4ant14 1317 . . . . 5 ((((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹𝑦))
5339, 40, 41, 42, 52fperiodmul 39832 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
5433, 34, 22, 53syl21anc 1365 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐹‘(𝑥 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑥))
5535a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℝ ⊆ ℂ)
56 ioossre 12273 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ
5756a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
5821, 57fssresd 6109 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
5958, 36fssd 6095 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
6059adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
6156a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
6237adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
6319a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℝ ⊆ ℝ)
64 eqid 2651 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
6564tgioo2 22653 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
6664, 65dvres 23720 . . . . . . 7 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
6755, 62, 63, 61, 66syl22anc 1367 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
6867dmeqd 5358 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))))
69 ioontr 40054 . . . . . . . 8 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))
7069reseq2i 5425 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
7170dmeqi 5357 . . . . . 6 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
7271a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
73 fourierdlem94.dvcn . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
74 cncff 22743 . . . . . 6 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
75 fdm 6089 . . . . . 6 (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
7673, 74, 753syl 18 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
7768, 72, 763eqtrd 2689 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
78 dvcn 23729 . . . 4 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ ∧ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
7955, 60, 61, 77, 78syl31anc 1369 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
8061, 35syl6ss 3648 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
8111fourierdlem2 40644 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
8217, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
8318, 82mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
8483simpld 474 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)))
85 elmapi 7921 . . . . . . . . 9 (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
8684, 85syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
8786adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
88 elfzofz 12524 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
8988adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
9087, 89ffvelrnd 6400 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
9190rexrd 10127 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
92 fzofzp1 12605 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
9392adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
9487, 93ffvelrnd 6400 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
9583simprrd 812 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
9695r19.21bi 2961 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
9764, 91, 94, 96lptioo2cn 40195 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
9858adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
9936, 37, 20dvbss 23710 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) ⊆ ℝ)
100 dvfre 23759 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
10121, 20, 100syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
10283simprd 478 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
103102simplld 806 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘0) = -π)
104102simplrd 808 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄𝑀) = π)
10573, 74syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
10694rexrd 10127 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
10764, 106, 90, 96lptioo1cn 40196 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
108 fourierdlem94.dvlb . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ≠ ∅)
109105, 80, 107, 108, 64ellimciota 40164 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (℩𝑥𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
110 fourierdlem94.dvub . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ≠ ∅)
111105, 80, 97, 110, 64ellimciota 40164 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (℩𝑥𝑥 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
11223adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
113112, 29remulcld 10108 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑇) ∈ ℝ)
11438adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
11529adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
116 simplr 807 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℤ)
117 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
11850ad4ant14 1317 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
119114, 115, 116, 117, 118fperiodmul 39832 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑡 + (𝑘 · 𝑇))) = (𝐹𝑡))
120 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (ℝ D 𝐹) = (ℝ D 𝐹)
12138, 113, 119, 120fperdvper 40451 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → ((𝑡 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ dom (ℝ D 𝐹) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘(𝑡 + (𝑘 · 𝑇))) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
122121an32s 863 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑡 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ dom (ℝ D 𝐹) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘(𝑡 + (𝑘 · 𝑇))) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
123122simpld 474 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑡 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ dom (ℝ D 𝐹))
124122simprd 478 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((ℝ D 𝐹)‘(𝑡 + (𝑘 · 𝑇))) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
125 fveq2 6229 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄𝑗) = (𝑄𝑖))
126 oveq1 6697 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 + 1) = (𝑖 + 1))
127126fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
128125, 127oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
129128cbvmptv 4783 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (0..^𝑀) ↦ ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1)))) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
130 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡 + ((⌊‘((π − 𝑡) / 𝑇)) · 𝑇))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡 + ((⌊‘((π − 𝑡) / 𝑇)) · 𝑇)))
13199, 101, 3, 4, 10, 16, 17, 86, 103, 104, 73, 109, 111, 123, 124, 129, 130fourierdlem71 40712 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
132131adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
133 nfv 1883 . . . . . . . . . 10 𝑡(𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀))
134 nfra1 2970 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧
135133, 134nfan 1868 . . . . . . . . 9 𝑡((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
13667, 70syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
137136fveq1d 6231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡) = (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡))
138 fvres 6245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
139137, 138sylan9eq 2705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
140139fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
141140adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
142 simplr 807 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
143 ssdmres 5455 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
14476, 143sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
145144ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
146 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
147145, 146sseldd 3637 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → 𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
148 rspa 2959 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
149142, 147, 148syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧)
150141, 149eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) ∧ 𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
151150ex 449 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → (𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → (abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
152135, 151ralrimi 2986 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧) → ∀𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
153152ex 449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∀𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
154153reximdv 3045 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ dom (ℝ D 𝐹)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ≤ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡)) ≤ 𝑧))
155132, 154mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑡 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))(abs‘((ℝ D (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))‘𝑡)) ≤ 𝑧)
15690, 94, 98, 77, 155ioodvbdlimc2 40468 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) ≠ ∅)
15760, 80, 97, 156, 64ellimciota 40164 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (℩𝑦𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
158 fourierdlem94.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
159 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (π − 𝑦) = (π − 𝑥))
160159oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → ((π − 𝑦) / 𝑇) = ((π − 𝑥) / 𝑇))
161160fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) = (⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)))
162161oveq1d 6705 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
163162cbvmptv 4783 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((π − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))
164 id 22 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥𝑧 = 𝑥)
165 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))‘𝑧) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))‘𝑥))
166164, 165oveq12d 6708 . . . 4 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 + ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))‘𝑧)) = (𝑥 + ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))‘𝑥)))
167166cbvmptv 4783 . . 3 (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝑧 + ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))‘𝑧))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((π − 𝑦) / 𝑇)) · 𝑇))‘𝑥)))
1683, 4, 10, 11, 16, 17, 18, 20, 21, 32, 54, 79, 157, 158, 163, 167fourierdlem49 40690 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ≠ ∅)
16990, 94, 98, 77, 155ioodvbdlimc1 40466 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) ≠ ∅)
17060, 80, 107, 169, 64ellimciota 40164 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (℩𝑦𝑦 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
171 biid 251 . . 3 (((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))) ↔ ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑄𝑖)[,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ 𝑤 = (𝑋 + (𝑘 · 𝑇))))
1723, 4, 10, 11, 16, 17, 18, 21, 32, 54, 79, 170, 158, 163, 167, 171fourierdlem48 40689 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅)
173168, 172jca 553 1 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) ≠ ∅ ∧ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  cio 5887  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  cz 11415  (,)cioo 12213  [,)cico 12215  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  cfl 12631  abscabs 14018  πcpi 14841  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  fldccnfld 19794  intcnt 20869  cnccncf 22726   lim climc 23671   D cdv 23672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  fourierdlem102  40743
  Copyright terms: Public domain W3C validator