Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem82 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem82 40908
Description: Integral by substitution, adding a constant to the function's argument, for a function on an open interval with finite limits ad boundary points. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem82.1 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
fourierdlem82.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem82.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem82.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem82.5 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
fourierdlem82.6 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
fourierdlem82.7 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
fourierdlem82.8 (𝜑𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
fourierdlem82.9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem82 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑡) d𝑡 = ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝑥,𝐹   𝑡,𝐺   𝑥,𝐿   𝑥,𝑅   𝑡,𝑋,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑡)   𝐹(𝑡)   𝐺(𝑥)   𝐿(𝑡)

Proof of Theorem fourierdlem82
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem82.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem82.3 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 fourierdlem82.9 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4 fourierdlem82.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 𝐵)
51, 2, 4ltled 10377 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
61, 2, 3, 5lesub1dd 10835 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑋) ≤ (𝐵𝑋))
76ditgpos 23819 . . 3 (𝜑 → ⨜[(𝐴𝑋) → (𝐵𝑋)](𝐺‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡 = ∫((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))(𝐺‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡)
8 fourierdlem82.1 . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))))
9 iftrue 4236 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = 𝑅)
109adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = 𝑅)
11 iftrue 4236 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
1211adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝑅)
1310, 12eqtr4d 2797 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
1413adantlr 753 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
15 iffalse 4239 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))
16 iftrue 4236 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)) = 𝐿)
1715, 16sylan9eq 2814 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = 𝐿)
1817adantll 752 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = 𝐿)
19 iffalse 4239 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 = 𝐴 → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))
20 iftrue 4236 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = 𝐿)
2119, 20sylan9eq 2814 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝐿)
2221adantll 752 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = 𝐿)
2318, 22eqtr4d 2797 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
24 iffalse 4239 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))
2524adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))
2615ad2antlr 765 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))
27 iffalse 4239 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 = 𝐵 → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
2827adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
2919ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))
301rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3130ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
322rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3332ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
341adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
352adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
36 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
37 eliccre 40231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3834, 35, 36, 37syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3938ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
401ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
4138adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
42 elicc2 12431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
4334, 35, 42syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
4436, 43mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵))
4544simp2d 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑥)
4645adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴𝑥)
47 neqne 2940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 = 𝐴𝑥𝐴)
4847adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝑥𝐴)
4940, 41, 46, 48leneltd 10383 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → 𝐴 < 𝑥)
5049adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 < 𝑥)
5138adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
522ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
5344simp3d 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
5453adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥𝐵)
55 nesym 2988 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵𝑥 ↔ ¬ 𝑥 = 𝐵)
5655biimpri 218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥 = 𝐵𝐵𝑥)
5756adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝐵𝑥)
5851, 52, 54, 57leneltd 10383 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
5958adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
6031, 33, 39, 50, 59eliood 40223 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
61 fvres 6368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
6328, 29, 623eqtr4d 2804 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))
6425, 26, 633eqtr4d 2804 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
6523, 64pm2.61dan 867 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐴) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
6614, 65pm2.61dan 867 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
6766mpteq2dva 4896 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))))
688, 67syl5eq 2806 . . . . . 6 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))))
6968adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))))
70 eqeq1 2764 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑋 + 𝑡) → (𝑥 = 𝐴 ↔ (𝑋 + 𝑡) = 𝐴))
71 eqeq1 2764 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑋 + 𝑡) → (𝑥 = 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝑡) = 𝐵))
72 fveq2 6352 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑋 + 𝑡) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))
7371, 72ifbieq2d 4255 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑋 + 𝑡) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = if((𝑋 + 𝑡) = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘(𝑋 + 𝑡))))
7470, 73ifbieq2d 4255 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑋 + 𝑡) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if((𝑋 + 𝑡) = 𝐴, 𝑅, if((𝑋 + 𝑡) = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))))
751adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝐴 ∈ ℝ)
76 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋)))
771, 3resubcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
7877rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴𝑋) ∈ ℝ*)
7978adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ*)
802, 3resubcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
8180rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵𝑋) ∈ ℝ*)
8281adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ*)
83 elioo2 12409 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑋) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑋) ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) < 𝑡𝑡 < (𝐵𝑋))))
8479, 82, 83syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) < 𝑡𝑡 < (𝐵𝑋))))
8576, 84mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) < 𝑡𝑡 < (𝐵𝑋)))
8685simp2d 1138 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝐴𝑋) < 𝑡)
873adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ)
8885simp1d 1137 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝑡 ∈ ℝ)
8975, 87, 88ltsubadd2d 10817 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → ((𝐴𝑋) < 𝑡𝐴 < (𝑋 + 𝑡)))
9086, 89mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝐴 < (𝑋 + 𝑡))
9175, 90gtned 10364 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ≠ 𝐴)
9291neneqd 2937 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → ¬ (𝑋 + 𝑡) = 𝐴)
9392iffalsed 4241 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → if((𝑋 + 𝑡) = 𝐴, 𝑅, if((𝑋 + 𝑡) = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))) = if((𝑋 + 𝑡) = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘(𝑋 + 𝑡))))
9487, 88readdcld 10261 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ∈ ℝ)
9585simp3d 1139 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝑡 < (𝐵𝑋))
962adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝐵 ∈ ℝ)
9787, 88, 96ltaddsub2d 10820 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → ((𝑋 + 𝑡) < 𝐵𝑡 < (𝐵𝑋)))
9895, 97mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) < 𝐵)
9994, 98ltned 10365 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ≠ 𝐵)
10099neneqd 2937 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → ¬ (𝑋 + 𝑡) = 𝐵)
101100iffalsed 4241 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → if((𝑋 + 𝑡) = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘(𝑋 + 𝑡))) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))
10293, 101eqtrd 2794 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → if((𝑋 + 𝑡) = 𝐴, 𝑅, if((𝑋 + 𝑡) = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))
10374, 102sylan9eqr 2816 . . . . 5 (((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) ∧ 𝑥 = (𝑋 + 𝑡)) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))
10475, 94, 90ltled 10377 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → 𝐴 ≤ (𝑋 + 𝑡))
10594, 96, 98ltled 10377 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ≤ 𝐵)
10675, 96, 94, 104, 105eliccd 40229 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ∈ (𝐴[,]𝐵))
107 fourierdlem82.5 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
108 ffun 6209 . . . . . . . 8 (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ → Fun 𝐹)
109107, 108syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun 𝐹)
110109adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → Fun 𝐹)
111 fdm 6212 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
112107, 111syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝐹 = (𝐴[,]𝐵))
113112eqcomd 2766 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
114113adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
115106, 114eleqtrd 2841 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ∈ dom 𝐹)
116 fvelrn 6515 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 ∧ (𝑋 + 𝑡) ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) ∈ ran 𝐹)
117110, 115, 116syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) ∈ ran 𝐹)
11869, 103, 106, 117fvmptd 6450 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))) → (𝐺‘(𝑋 + 𝑡)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)))
119118itgeq2dv 23747 . . 3 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))(𝐺‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡 = ∫((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))(𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡)
120 frn 6214 . . . . . . 7 (𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
121107, 120syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
122121adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
123109adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → Fun 𝐹)
1241adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝐴 ∈ ℝ)
1252adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝐵 ∈ ℝ)
1263adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ)
12777adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐴𝑋) ∈ ℝ)
12880adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐵𝑋) ∈ ℝ)
129 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)))
130 eliccre 40231 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑡 ∈ ℝ)
131127, 128, 129, 130syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑡 ∈ ℝ)
132126, 131readdcld 10261 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ∈ ℝ)
133 elicc2 12431 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑋) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑋) ∈ ℝ) → (𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) ≤ 𝑡𝑡 ≤ (𝐵𝑋))))
134127, 128, 133syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋)) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) ≤ 𝑡𝑡 ≤ (𝐵𝑋))))
135129, 134mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑋) ≤ 𝑡𝑡 ≤ (𝐵𝑋)))
136135simp2d 1138 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐴𝑋) ≤ 𝑡)
137124, 126, 131lesubadd2d 10818 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → ((𝐴𝑋) ≤ 𝑡𝐴 ≤ (𝑋 + 𝑡)))
138136, 137mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝐴 ≤ (𝑋 + 𝑡))
139135simp3d 1139 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → 𝑡 ≤ (𝐵𝑋))
140126, 131, 125leaddsub2d 10821 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → ((𝑋 + 𝑡) ≤ 𝐵𝑡 ≤ (𝐵𝑋)))
141139, 140mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ≤ 𝐵)
142124, 125, 132, 138, 141eliccd 40229 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ∈ (𝐴[,]𝐵))
143113adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
144142, 143eleqtrd 2841 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝑋 + 𝑡) ∈ dom 𝐹)
145123, 144, 116syl2anc 696 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) ∈ ran 𝐹)
146122, 145sseldd 3745 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) ∈ ℂ)
14777, 80, 146itgioo 23781 . . 3 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)(,)(𝐵𝑋))(𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡 = ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡)
1487, 119, 1473eqtrrd 2799 . 2 (𝜑 → ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡 = ⨜[(𝐴𝑋) → (𝐵𝑋)](𝐺‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡)
149 nfv 1992 . . . 4 𝑥𝜑
150 fourierdlem82.6 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
151 fourierdlem82.7 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
1521, 2, 4, 107limcicciooub 40372 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵) = (𝐹 lim 𝐵))
153151, 152eleqtrrd 2842 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐵))
154 fourierdlem82.8 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ (𝐹 lim 𝐴))
1551, 2, 4, 107limciccioolb 40356 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐴) = (𝐹 lim 𝐴))
156154, 155eleqtrrd 2842 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵)) lim 𝐴))
157149, 8, 1, 2, 150, 153, 156cncfiooicc 40610 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
1581, 2, 5, 3, 157itgsbtaddcnst 40701 . 2 (𝜑 → ⨜[(𝐴𝑋) → (𝐵𝑋)](𝐺‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡 = ⨜[𝐴𝐵](𝐺𝑠) d𝑠)
1595ditgpos 23819 . . 3 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵](𝐺𝑠) d𝑠 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑠) d𝑠)
160 fveq2 6352 . . . . 5 (𝑠 = 𝑡 → (𝐺𝑠) = (𝐺𝑡))
161160cbvitgv 23742 . . . 4 ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑠) d𝑠 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑡) d𝑡
1628a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))))
1631ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝐴 ∈ ℝ)
164 simplr 809 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵))
16530ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝐴 ∈ ℝ*)
16632ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝐵 ∈ ℝ*)
167 elioo2 12409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑡𝑡 < 𝐵)))
168165, 166, 167syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑡𝑡 < 𝐵)))
169164, 168mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑡𝑡 < 𝐵))
170169simp2d 1138 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝐴 < 𝑡)
171 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑥 = 𝑡)
172170, 171breqtrrd 4832 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝐴 < 𝑥)
173163, 172gtned 10364 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑥𝐴)
174173neneqd 2937 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
175174iffalsed 4241 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)))
176169simp1d 1137 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑡 ∈ ℝ)
177171, 176eqeltrd 2839 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑥 ∈ ℝ)
178169simp3d 1139 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑡 < 𝐵)
179171, 178eqbrtrd 4826 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑥 < 𝐵)
180177, 179ltned 10365 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑥𝐵)
181180neneqd 2937 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
182181iffalsed 4241 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥)) = ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))
183171, 164eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
184183, 61syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥) = (𝐹𝑥))
185 fveq2 6352 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑡 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑡))
186185adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑡))
187184, 186eqtrd 2794 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥) = (𝐹𝑡))
188175, 182, 1873eqtrd 2798 . . . . . 6 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝑡) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, ((𝐹 ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑥))) = (𝐹𝑡))
189 ioossicc 12452 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
190 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵))
191189, 190sseldi 3742 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵))
192109adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → Fun 𝐹)
193113adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) = dom 𝐹)
194191, 193eleqtrd 2841 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑡 ∈ dom 𝐹)
195 fvelrn 6515 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝑡 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑡) ∈ ran 𝐹)
196192, 194, 195syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑡) ∈ ran 𝐹)
197162, 188, 191, 196fvmptd 6450 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑡) = (𝐹𝑡))
198197itgeq2dv 23747 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑡) d𝑡)
199161, 198syl5eq 2806 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐺𝑠) d𝑠 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑡) d𝑡)
200107ffvelrnda 6522 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
2011, 2, 200itgioo 23781 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑡) d𝑡)
202159, 199, 2013eqtrd 2798 . 2 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵](𝐺𝑠) d𝑠 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑡) d𝑡)
203148, 158, 2023eqtrrd 2799 1 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑡) d𝑡 = ∫((𝐴𝑋)[,](𝐵𝑋))(𝐹‘(𝑋 + 𝑡)) d𝑡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wss 3715  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  ran crn 5267  cres 5268  Fun wfun 6043  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127   + caddc 10131  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  (,)cioo 12368  [,]cicc 12371  cnccncf 22880  citg 23586  cdit 23809   lim climc 23825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cc 9449  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-cmp 21392  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-ovol 23433  df-vol 23434  df-mbf 23587  df-itg1 23588  df-itg2 23589  df-ibl 23590  df-itg 23591  df-0p 23636  df-ditg 23810  df-limc 23829  df-dv 23830
This theorem is referenced by:  fourierdlem93  40919
  Copyright terms: Public domain W3C validator