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Theorem fourierdlem77 40911
Description: If 𝐻 is bounded, then 𝑈 is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem77.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem77.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem77.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem77.w (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
fourierdlem77.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem77.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem77.u 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
fourierdlem77.bd (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem77 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑏)
Distinct variable groups:   𝐾,𝑏,𝑠   𝑈,𝑎,𝑏   𝜑,𝑎,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏)   𝑈(𝑠)   𝐹(𝑠,𝑎,𝑏)   𝐻(𝑠,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎)   𝑊(𝑠,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑠,𝑎,𝑏)   𝑌(𝑠,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem fourierdlem77
Dummy variables 𝑐 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem77.bd . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎)
2 pire 24430 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ
32renegcli 10543 . . . . . . . . 9 -π ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → -π ∈ ℝ)
52a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → π ∈ ℝ)
6 pirp 24433 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ+
7 neglt 40008 . . . . . . . . . . 11 (π ∈ ℝ+ → -π < π)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 -π < π
93, 2, 8ltleii 10361 . . . . . . . . 9 -π ≤ π
109a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → -π ≤ π)
11 fourierdlem77.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
1211fourierdlem62 40896 . . . . . . . . 9 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ)
1312a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → 𝐾 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
144, 5, 10, 13evthiccabs 40233 . . . . . . 7 (⊤ → (∃𝑐 ∈ (-π[,]π)∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐)) ∧ ∃𝑥 ∈ (-π[,]π)∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑥)) ≤ (abs‘(𝐾𝑦))))
1514trud 1640 . . . . . 6 (∃𝑐 ∈ (-π[,]π)∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐)) ∧ ∃𝑥 ∈ (-π[,]π)∀𝑦 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑥)) ≤ (abs‘(𝐾𝑦)))
1615simpli 470 . . . . 5 𝑐 ∈ (-π[,]π)∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))
1716a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) → ∃𝑐 ∈ (-π[,]π)∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐)))
18 simpl 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℝ)
1911fourierdlem43 40878 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ
2019ffvelrni 6501 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ (-π[,]π) → (𝐾𝑐) ∈ ℝ)
2120adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → (𝐾𝑐) ∈ ℝ)
2218, 21remulcld 10271 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → (𝑎 · (𝐾𝑐)) ∈ ℝ)
2322recnd 10269 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → (𝑎 · (𝐾𝑐)) ∈ ℂ)
2423abscld 14382 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) ∈ ℝ)
2523absge0d 14390 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → 0 ≤ (abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))))
2624, 25ge0p1rpd 12104 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1) ∈ ℝ+)
27263ad2antl2 1200 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1) ∈ ℝ+)
28273adant3 1125 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) → ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1) ∈ ℝ+)
29 nfv 1994 . . . . . . . . 9 𝑠𝜑
30 nfv 1994 . . . . . . . . 9 𝑠 𝑎 ∈ ℝ
31 nfra1 3089 . . . . . . . . 9 𝑠𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎
3229, 30, 31nf3an 1982 . . . . . . . 8 𝑠(𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎)
33 nfv 1994 . . . . . . . 8 𝑠 𝑐 ∈ (-π[,]π)
34 nfra1 3089 . . . . . . . 8 𝑠𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))
3532, 33, 34nf3an 1982 . . . . . . 7 𝑠((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐)))
36 simpl11 1313 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝜑)
37 simpl12 1315 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℝ)
3836, 37jca 495 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝜑𝑎 ∈ ℝ))
39 simpl13 1317 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎)
40 rspa 3078 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎)
4139, 40sylancom 568 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎)
42 simpl2 1228 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑐 ∈ (-π[,]π))
4338, 41, 42jca31 498 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)))
44 rspa 3078 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐)) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐)))
45443ad2antl3 1201 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐)))
46 simpr 471 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
47 simp-5l 764 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝜑)
48 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
49 fourierdlem77.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
50 fourierdlem77.x . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
51 fourierdlem77.y . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
52 fourierdlem77.w . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
53 fourierdlem77.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
5449, 50, 51, 52, 53fourierdlem9 40844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
5554ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐻𝑠) ∈ ℝ)
5619ffvelrni 6501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → (𝐾𝑠) ∈ ℝ)
5756adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐾𝑠) ∈ ℝ)
5855, 57remulcld 10271 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ)
59 fourierdlem77.u . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
6059fvmpt2 6433 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
6148, 58, 60syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
6261, 58eqeltrd 2849 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
6362recnd 10269 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℂ)
6463abscld 14382 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) ∈ ℝ)
6547, 64sylancom 568 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) ∈ ℝ)
66 simp-5r 766 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℝ)
67 simpllr 752 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑐 ∈ (-π[,]π))
6866, 67, 24syl2anc 565 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) ∈ ℝ)
69 peano2re 10410 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) ∈ ℝ → ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1) ∈ ℝ)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1) ∈ ℝ)
7161fveq2d 6336 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) = (abs‘((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))))
7247, 71sylancom 568 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) = (abs‘((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))))
7355recnd 10269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐻𝑠) ∈ ℂ)
7473abscld 14382 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐻𝑠)) ∈ ℝ)
7547, 74sylancom 568 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐻𝑠)) ∈ ℝ)
76 recn 10227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
7776abscld 14382 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ ℝ → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
7866, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
7956recnd 10269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → (𝐾𝑠) ∈ ℂ)
8079abscld 14382 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → (abs‘(𝐾𝑠)) ∈ ℝ)
8180adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐾𝑠)) ∈ ℝ)
8220recnd 10269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ (-π[,]π) → (𝐾𝑐) ∈ ℂ)
8382abscld 14382 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ (-π[,]π) → (abs‘(𝐾𝑐)) ∈ ℝ)
8467, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐾𝑐)) ∈ ℝ)
8573absge0d 14390 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 0 ≤ (abs‘(𝐻𝑠)))
8647, 85sylancom 568 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 0 ≤ (abs‘(𝐻𝑠)))
8782absge0d 14390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ (-π[,]π) → 0 ≤ (abs‘(𝐾𝑐)))
8867, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 0 ≤ (abs‘(𝐾𝑐)))
8974ad4ant14 1207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐻𝑠)) ∈ ℝ)
90 simpllr 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℝ)
9177ad3antlr 702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
92 simplr 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎)
9390leabsd 14360 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑎 ≤ (abs‘𝑎))
9489, 90, 91, 92, 93letrd 10395 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ (abs‘𝑎))
9594ad4ant14 1207 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ (abs‘𝑎))
96 simplr 744 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐)))
9775, 78, 81, 84, 86, 88, 95, 96lemul12bd 11168 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝐻𝑠)) · (abs‘(𝐾𝑠))) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐾𝑐))))
9857recnd 10269 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐾𝑠) ∈ ℂ)
9973, 98absmuld 14400 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) = ((abs‘(𝐻𝑠)) · (abs‘(𝐾𝑠))))
10047, 99sylancom 568 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) = ((abs‘(𝐻𝑠)) · (abs‘(𝐾𝑠))))
10176adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℂ)
10221recnd 10269 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → (𝐾𝑐) ∈ ℂ)
103101, 102absmuld 14400 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) = ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐾𝑐))))
10466, 67, 103syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) = ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐾𝑐))))
10597, 100, 1043brtr4d 4816 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠))) ≤ (abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))))
10672, 105eqbrtrd 4806 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ (abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))))
10768ltp1d 11155 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) < ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1))
10865, 68, 70, 106, 107lelttrd 10396 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) < ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1))
10965, 70, 108ltled 10386 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1))
11043, 45, 46, 109syl21anc 1474 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1))
111110ex 397 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) → (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1)))
11235, 111ralrimi 3105 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) → ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1))
113 breq2 4788 . . . . . . . 8 (𝑏 = ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1) → ((abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1)))
114113ralbidv 3134 . . . . . . 7 (𝑏 = ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1) → (∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1)))
115114rspcev 3458 . . . . . 6 ((((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾𝑐))) + 1)) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑏)
11628, 112, 115syl2anc 565 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ (-π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐))) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑏)
117116rexlimdv3a 3180 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) → (∃𝑐 ∈ (-π[,]π)∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐾𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾𝑐)) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑏))
11817, 117mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎) → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑏)
119118rexlimdv3a 3180 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑎 → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑏))
1201, 119mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wtru 1631  wcel 2144  wral 3060  wrex 3061  ifcif 4223   class class class wbr 4784  cmpt 4861  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  cc 10135  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142   < clt 10275  cle 10276  cmin 10467  -cneg 10468   / cdiv 10885  2c2 11271  +crp 12034  [,]cicc 12382  abscabs 14181  sincsin 14999  πcpi 15002  cnccncf 22898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-fsupp 8431  df-fi 8472  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14014  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-limsup 14409  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-sum 14624  df-ef 15003  df-sin 15005  df-cos 15006  df-pi 15008  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-hom 16173  df-cco 16174  df-rest 16290  df-topn 16291  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-topgen 16311  df-pt 16312  df-prds 16315  df-xrs 16369  df-qtop 16374  df-imas 16375  df-xps 16377  df-mre 16453  df-mrc 16454  df-acs 16456  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-mulg 17748  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-fbas 19957  df-fg 19958  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lp 21160  df-perf 21161  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-t1 21338  df-haus 21339  df-cmp 21410  df-tx 21585  df-hmeo 21778  df-fil 21869  df-fm 21961  df-flim 21962  df-flf 21963  df-xms 22344  df-ms 22345  df-tms 22346  df-cncf 22900  df-limc 23849  df-dv 23850
This theorem is referenced by:  fourierdlem87  40921
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